Poisson egyenlet

A Poisson-egyenlet egy elliptikus parciális differenciálegyenlet , amely leírja

elektrosztatikus mező ,
álló hőmérsékleti mező,
nyomásmező,
sebességpotenciál mező a hidrodinamikában.

Nevét Siméon Denis Poisson francia fizikusról és matematikusról kapta .

Ez az egyenlet így néz ki:

\Delta \varphi =f,

hol van a Laplace operátor vagy Laplacian , és egy valós vagy összetett függvény valamilyen sokaságon . $\Delta$ $f$

Egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben az egyenlet a következőképpen alakul:

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

A Descartes-koordináta-rendszerben a Laplace-operátor a következő formában van felírva, a Poisson-egyenlet pedig a következő formában: $\nabla ^{2}$

{\nabla }^{2}\varphi =f.

Ha nullára hajlik, akkor a Poisson-egyenlet Laplace-egyenletté alakul (a Laplace-egyenlet a Poisson-egyenlet speciális esete): $f$

\Delta\varphi=0.

A Poisson-egyenlet a Green-függvény segítségével megoldható ; lásd például a Poisson-egyenletet vizsgáló cikket . Számos módszer létezik a numerikus megoldások előállítására. Például egy iteratív algoritmust használnak - a "relaxációs módszert".

Elektrosztatika

A Poisson-egyenlet az elektrosztatika egyik legfontosabb egyenlete . Az adott megtalálása fontos gyakorlati probléma, mivel ez a szokásos módja az elektrosztatikus potenciál meghatározásának adott töltéseloszlás esetén . SI mértékegységben : $\Phi (r)$ $f$

{\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0)),

ahol az elektrosztatikus potenciál ( voltban ), a térfogati töltéssűrűség ( coulomb per köbméterben), és a vákuum permittivitása ( farad per méter). $\phi$ $\rho$ $\varepsilon _{0}$

A Gauss-törvényből ( és a statikus potenciál definíciójából ( ) [1] származik : $\mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0)))$ $\mathbf {E} =-\nabla \phi$

{\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\ nabla ^{2}\phi .

CGS egységekben :

{\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }.

A tér olyan régiójában, ahol nincs párosítatlan töltéssűrűség:

\rho =0,

és a potenciál egyenlete Laplace-egyenlet lesz :

{\nabla }^{2}\phi =0.

A ponttöltés lehetősége

Ponttöltés által generált potenciál

\Phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}

- vagyis a Coulomb-potenciál - valójában (és szigorúan véve ) a Green funkciója $q=1$

\Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}

a Poisson-egyenlethez,

vagyis az egyenlet megoldása

\Delta \Phi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,

ahol a Dirac delta függvény jelölése , és három delta függvény szorzata egy háromdimenziós delta függvény, és $\delta(x)$ $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Ebből a szempontból egyértelmű, hogy a Poisson-egyenlet tetszőleges jobb oldali megoldása így írható fel.

\Phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d \eta d\zeta=

=\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y- \eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .

Itt a legegyszerűbb „peremfeltételek nélküli” esetet értjük, amikor azt feltételezzük, hogy a végtelenben a megoldásnak nullára kell mutatnia. Az önkényes peremfeltételek általánosabb esetének átgondolását és általában egy részletesebb bemutatását lásd a Green funkciója című cikkben .
Az utolsó képlet fizikai jelentése a szuperpozíció elvének alkalmazása (ami lehetséges, mivel a Poisson-egyenlet lineáris) és a potenciál megtalálása a ponttöltések potenciáljainak összegeként . $\rho dV$

Gauss térfogati töltéssűrűségi potenciál

Ha megvan a Gauss - töltéseloszlás térfogati gömbszimmetrikus sűrűsége : $\rho (r)$

\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{{-r^{2}/(2\ szigma ^{2})}},

ahol a teljes töltés, akkor a Poisson-egyenlet megoldása: $K$ $\Phi (r)$

{\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \varepsilon _{0))

adott:

\Phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),

hol van a hibafüggvény . Ez a megoldás számítással közvetlenül ellenőrizhető . Megjegyzendő, hogy sok nagyobb, mint , egységhez közelít, a potenciál pedig megközelíti a ponttöltés potenciálját , ahogy az várható is. $\mathrm {erf} (x)$ ${\nabla }^{2}\Phi$ $r$ $\sigma$ $\mathrm {erf} (x)$ $\Phi (r)$ ${1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}$

Lásd még

Diszkrét Poisson-egyenlet
Szűrt Poisson-egyenlet

Jegyzetek

↑ A. M. Makarov, L. A. Luneva. Az elektromágnesesség alapjai : „Fizika a Műszaki Egyetemen” nyílt oktatási rendszer tantárgy 3. kötete: [ arch. 2020. július 30. ]. - MSTU im. N. E. Bauman, 2002.

Linkek

Poisson-egyenlet az EqWorld-ben: A matematikai egyenletek világa.
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
AD Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák