Godunov módszere

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. április 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Godunov-módszer olyan átszámlálási sémák megvalósítása, amelyek segítségével a számítási tartományon belüli paraméterekben megszakadt gázdinamikus áramlások számíthatók ki. Ezt a sémát S. K. Godunov javasolta 1959-ben. A Godunov-módszer a kontroll térfogati módszer egy változata . Az oldallapokon áthaladó áramlásokat egy tetszőleges folytonossági hiány csillapítási problémájának megoldásából határozzuk meg . Magyarázzuk meg egy példával.

Példa

Tekintsük az első rendű numerikus Godunov-módszer felépítését az egydimenziós instabil gázdinamika egyenletrendszerének megoldásának példáján, divergens formában :

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial \rho u}{\partial x))&=&0 \\{\frac {\partial (\rho u)}{\partial t))+{\frac {\partial (p+\rho u^{2})}{\partial x))&=&0\\{ \frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial u(E+p)}{\partial x}}&=&0\end{array}}\end{cases}}

Itt:

$\rho$ - sűrűség
$p$ - nyomás
$u$ - sebesség
$E$ az egységnyi térfogatra jutó teljes energia

Figyeld meg, hogy:

Az első egyenlet a tömegmegmaradás törvényét fejezi ki
A második egyenlet az impulzusmegmaradás törvényét fejezi ki
A harmadik egyenlet az energiamegmaradás törvényét fejezi ki $E=e+{\frac {\rho u^{2}}{2}}$ $e=\rho \varepsilon ,$ $\varepsilon =\varepsilon (p,\rho ),$ $\varepsilon ={\frac {1}{\gamma -1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}$ , hol van az adiabatikus kitevő $\gamma$

Differenciálforma

A kezdeti rendszer tömörebb formában is felírható:

{\frac {\partial q}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial x))=0

ahol:

$q$ a konzervatív változók vektora $q=\left({\begin{array}{c}\rho \\\rho \,u\\E\end{tömb}}\jobbra)$
$f$ az áramlási vektor $f=\left({\begin{array}{c}\rho \,u\\p+\rho \,u^{2}\\u(E+p)\end{tömb}}\jobbra)$

Integrál forma

Az egyenletek differenciális alakja helyett az egyenletek új integrál alakját vezetjük le, amely alkalmasabb gyenge megoldás ábrázolására . Itt gyenge megoldás egy általánosított függvény , amelyet a megfelelő differenciálegyenletekből és a probléma kezdeti feltételeiből kapott integrálegyenlőségek határoznak meg . Ehhez kiválasztunk egy bizonyos vezérlőtérfogatot, és ezen a térfogaton integráljuk az egyenletrendszert. Alkalmazzuk az általánosított Stokes-tételt a kapott divergencia -integrálra (két független változó esetén ez lesz a Green-tétel és az Ostrogradsky-Gauss formula háromdimenziós térben). Ebben az esetben bevezetjük a kontúr megkerülésének irányát az óramutató járásával ellentétes irányban . $\Omega$

Külön-külön, figyelembe véve a folytonossági egyenletet , megkapjuk:

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\right)d \,xd\,t=\oint \limits _{{\partial \Omega }}\rho dx-\rho udt

Az egész egyenletrendszerre

\iint \limits _{{\Omega }}\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)d\,xd \,t=0\Baljobbra nyíl \oint \limits _{{\partial \Omega }}(qdx-fdt)=0

A rendszer megírása kiterjesztett formában:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&= &0\\\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\ oint \limits _{{\partial \Omega }}(E\;d\,xu(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}

Közelítés

Megtörténik az átmenet az eredeti egyenletrendszer felírásának differenciálformájáról az integrál alakra. Az integrál alakot a kontúr (a kiválasztott vezérlőtérfogat határa) feletti integrálok nullával való egyenlőségeként írjuk fel a konzervatív változók és fluxusok vektoraiból. A kontúrintegrált a vezérlőtérfogat 1-2 , 2-3 , 3-4 , 4-1 szakaszaira (intervallumokra) tartozó integrálok összegeként ábrázoljuk az ábrán (amely még nem elérhető) , és minden szakaszon közelítünk. az integrál a téglalapok módszerével az intervallum közepén lévő integrandus szorzataként az integrációs intervallum hosszával:

{\begin{array}{c}q_{{12}}\cdot (x_{{2}}-x_{{1}})-f_{{12}}\cdot (t_{{2}}-t_ {{1}})+\\\qquad q_{{23}}\cdot (x_{{3}}-x_{{2}})-f_{{23}}\cdot (t_{{3}} -t_{{2}})+\\\qquad \qquad q_{{34}}\cdot (x_{{4}}-x_{{3}})-f_{{34}}\cdot (t_{ {4}}-t_{{3}})+\\\qquad \qquad \qquad q_{{41}}\cdot (x_{{1}}-x_{{4}})-f_{{41} }\cdot (t_{{1}}-t_{{4}})=0\end{array}}\Rightarrow q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t} {\Delta x}}(f_{{23}}-f_{{41}})

figyelembe véve a derékszögű számítási rácsra épített vezérlőtérfogatra érvényes egyenlőségeket:

$x_{3}-x_{2}=0$
$x_{1}-x_{4}=0$
$t_{2}-t_{1}=0$
$t_{4}-t_{3}=0$

Ráadásul:

$x_{2}-x_{1}=\Delta x$
$x_{4}-x_{3}=-\Delta x$
$t_{3}-t_{2}=\Delta t$
$t_{1}-t_{4}=-\Delta t$

keresse meg a konzervatív változók vektorának értékeit az új réteghez tartozó 3-4 intervallumon:

q_{{34}}=q_{{12}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{23}}-f_{{41}})\qquad \Jobbra \qquad q_ {{j}}^{{n+1}}=q_{{j}}^{{n}}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(f_{{j+{\frac { 1}{2))))-f_{{j-{\frac {1}{2)))))

Ebben az esetben a félegész indexű értékek a tárolt értékek áramlását jelölik a számítási cella határain az idő alatt, vagy a vezérlő oldallapjain ( 2-3 és 4-1 ) áthaladó áramlásokat. hangerő. Ha az áramlási sebességet a külső normálással az oldalfelületre irányítjuk , akkor az áramlás negatív , azaz kiáramlik a szabályozó térfogatból és fordítva.

Kiterjesztett:

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\rho _{{j}}^{{n+1}}&=&\rho _{{j}}^{{n}}-{ \frac {\Delta t}{\Delta x))((\rho u)_{{j+{\frac {1}{2))))-(\rho u)_{{j-{\frac { 1}{2}}}})\\(\rho u)_{{j}}^{{n+1}}&=&(\rho u)_{{j}}^{{n}} -{\frac {\Delta t}{\Delta x))((p+\rho u^{2})_{{j+{\frac {1}{2))))-(p+\rho u^{ 2})_{{j-{\frac {1}{2)))))\\E_{{j}}^{{n+1}}&=&E_{{j}}^{{n} }-{\frac {\Delta t}{\Delta x))((u(p+E))_{{j+{\frac {1}{2))))-(u(p+E)) _{{j-{\frac {1}{2}}}})\end{array}}\end{cases}}

Az oldalfelületeken átfolyó áramlások egy tetszőleges folytonossági hiány bomlási problémájának megoldásából határozhatók meg . $f_{{j+{\frac {1}{2))))$ $f_{{j-{\frac {1}{2))))$

Peremfeltételek kimutatása

A vezérlőtérfogat- módszerekben (beleértve a Godunov-módszert is) a peremfeltételek beállításának és megvalósításának egyik jellemzője, hogy meg kell adni vagy kiszámítani a vezérlőtérfogat-felületen átmenő áramlásokat, amelyek egybeesnek a számítási tartomány határával. A számítási réteg első és utolsó cellájánál meg kell határozni a felületeken átáramló tömeget, lendületet és energiát.

Gyakran "virtuális" számítási cellákat vezetnek be a peremfeltételek beállításához. Ehhez az első cellától balra és az utolsó cellától jobbra egy további cellát vezetünk be, amelyek mindegyikében olyan áramlási paramétereket adunk meg, hogy a Riemann megoldása során a szükséges áramlásokat az oldalsó felületen modellezzük. probléma .

A határeljárások típusai

Minden feltevés a bal oldali határhoz viszonyítva történik

Rögzített merev fal

A fő feltétel az, hogy a gáztömegáram ne áramoljon át a határon, ami megfelel a nulla áramlási sebesség feltételének az adott oldalon , majd a virtuális cellában a következő áramlási paramétereket kell beállítani: $U=0$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &-u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

"w" - paraméterek egy virtuális cellában
"1" - paraméterek az első cellában

A folytonossági csillapítási problémában kapott áramlási paraméterek az oldalsó felületen nulla tömegáramot valósítanak meg ezen a felületen.

Korlátlan kapacitású tározó

Matematikailag ez az eset megfelel az arc nyomásértékének beállításának . A beáramlási sebesség a képlettel határozható meg ${\tilde {P}}$

{\tilde {U}}=u_{1}+{\frac {{\tilde {P}}-p_{1}}{c_{1}}}

Ahol:

ha , akkor ${\tilde {P}}>p_{1}$ $c_{1}={\frac {{\sqrt {\rho _{1}\cdot ((\gamma +1){\tilde {P))+(\gamma +1)p_{1})))} {2}}$
ha , akkor ${\tilde {P}}<p_{1}$ $c_{1}={\frac {a_{1}\rho _{1}(\gamma -1)\left(1-{\frac {P}{p_{1))}\right)}{2\ gamma \left(1-\left({\frac {P}{p_{1))}\right)^{({\frac {\gamma -1}{2\gamma ))))\jobbra)))$

Beáramló szuperszonikus áramlás

Jelölje az aláhúzás a szuperszonikus áramlás paramétereit, akkor ha , akkor ${\bar {U}}>{\bar {c}}={\sqrt {\frac {\gamma {\bar {P}}}{\bar {\rho }}}}$

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&{\bar {P}}\\\rho _{w}&=&{\bar {\rho }}\\ u_{w}&=&{\bar {U}}\\\end{array}}\end{cases}}

Menekülés a szuperszonikus áramlásból

Ebben az esetben a következő áramlási paraméterek vannak beállítva a virtuális cellában:

{\begin{cases}{\begin{array}{lcl}p_{w}&=&p_{1}\\\rho _{w}&=&\rho _{1}\\u_{w}&= &u_{1}\\\end{array}}\end{cases}}

Háló opciók kiválasztása

A számítási rács lépése az időkoordináta mentén a Godunov-módszerben a Courant-Friedrichs-Levy stabilitási kritériumból határozható meg . A vizsgált rendszerrel kapcsolatban ez a feltétel a következőképpen fogalmazódik meg:

A pontban tetszőleges folytonossági hiány bomlásának problémájában fellépő hullámok nem érhetik el időben az oldallapokat , és nem torzíthatják el az önhasonló megoldást . $j+{\frac {1}{2}}$ $\Delta t$ $j+{\frac {3}{2}}$ $j-{\frac {1}{2}}$

Ennek az elvnek a megvalósítása a következő kapcsolatokhoz vezet:

\Delta t_{j}=r{\frac {\Delta x_{j}}{\max \left(|D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|, |D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{L}}|\jobbra)))

ahol

$D_{{j+{\frac {1}{2}}}}^{{L}}$ a bal szélső hullám sebességének értéke a diszkontinuitás csillapításában;
$D_{{j-{\frac {1}{2}}}}^{{R}}$ a jobb szélső hullám sebességének értéke a diszkontinuitás csillapításában;

Ennek eredményeként a következőket vesszük:

\Delta t=\min _{j}\Delta t_{j}

Irodalom

Gázdinamika többdimenziós feladatainak numerikus megoldása. Album / szerkesztő Godunov S. K. . — M .: Nauka, 1976. — 400 p. - 6500 példány.
Samarsky A.A., Popov Yu.P. Különböző módszerek gázdinamikai problémák megoldására. - M . : Nauka, 1992. - 2470 példány.

Linkek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek