A Riemann-probléma egy önkényes megszakadás bomlásáról

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Egy tetszőleges diszkontinuitás csillapításának Riemann-problémája a kontinuummechanika nem stacionárius egyenleteinek analitikus megoldásának a problémája, egy tetszőleges diszkontinuitás bomlására alkalmazva [1] . Speciális esetek korlátozott körében teljesen megoldva - ideális gáz gázdinamikai egyenleteire és néhány pontosabb közelítésre (az úgynevezett gáz kéttagú állapotegyenlettel ) és a sekély víz elméletének egyenleteire . A mágneses gázdinamika egyenleteinek megoldása láthatóan egy meglehetősen bonyolult közönséges differenciálegyenlet numerikus megoldásáig megszerkeszthető.

Színpadi

Megoldás alatt áll a folytonossági szétesés egydimenziós problémája – vagyis feltételezzük, hogy a kezdeti időpillanat előtt a tér két különböző értékű termodinamikai paraméterekkel (a gázdinamikánál ez a sűrűség, sebesség, és a gáznyomás) vékony válaszfal választja el, és a kezdeti pillanatban a válaszfalat eltávolítják. Megoldást kell alkotni (vagyis az összes termodinamikai paraméter függőségét az időtől és a koordinátáktól) a változók tetszőleges kezdeti értékére. $t=0$

Egy tetszőleges folytonossági hiány csillapításának problémájára a -nál fellépő gázdinamikus áramlás meghatározása a megoldás . Más szóval, a gázdinamikai egyenletek Cauchy-probléma megoldásáról beszélünk , amelyben a kezdeti feltételeket a fent leírt tetszőleges megszakítás formájában adjuk meg. $t>0$

Megoldás

Kiderült, hogy divergens formában felírt egyenletrendszerek esetén a megoldás önhasonló lesz .

A megoldást elemi hullámok halmazának formájában keresik, amelyet az egyenletrendszer szerkezete határoz meg. A gázdinamika esetében ezek a következők: lökéshullám , ritkítási hullám , érintkezési folytonossági zavar . Mutassuk be explicit formában a megoldást egy adiabatikus kitevővel nyugalmi ideális gáz esetére . Legyen a kezdeti pillanatban a nyomás , a sűrűség és a sebesség alakja: $\gamma$ $P$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

és - a hullám jobbra megy. Ekkor egy tetszőleges pillanatban a megoldás formája van $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	zavartalan anyag	ritkítási hullám	Régió a ritkítási hullámfront és az érintkezési szakadás között	Az érintkezési folytonossági hiány és a lökéshullámfront közötti tartomány	zavartalan anyag
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_{R}$

Itt a hangsebesség a zavartalan közegben a bal oldalon, , , , a gáz paraméterei és a hangsebesség a lökéshullámfront és az érintkezési szakadás között, , , a gáz paraméterei az érintkezési folytonossági zavar és a lökéshullám között, és a lökéshullám sebessége. Ezt az öt paramétert egy nemlineáris egyenletrendszerből határozzuk meg, amely megfelel az energia, a tömeg és az impulzus megmaradásának törvényeinek: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2))))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\displaystyle \displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2))))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\jobbra)^{\frac {\gamma -1}{2)) \jobb)

Az első három egyenlet itt az ideális gáz Hugoniot-relációinak [2] , a negyedik és ötödik pedig a ritkulási hullám összefüggéseinek [3] felel meg .

Alkalmazás

A Riemann-probléma megoldása numerikus módszerekben is alkalmazható nagy szakadásokkal járó nem stacionárius problémák megoldására. A folytonossági csillapítás Riemann-probléma (pontos vagy közelítő) megoldásán alapul a Godunov-módszer a kontinuummechanika nemstacionárius egyenletrendszereinek megoldására.

Jegyzetek

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Archiválva az eredetiből: 2020. július 24.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. A lökéshullámok és a magas hőmérsékletű hidrodinamikai jelenségek fizikája. - Moszkva: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 p.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. A lökéshullámok és a magas hőmérsékletű hidrodinamikai jelenségek fizikája. - Moszkva: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 p.