Általános funkció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az általánosított függvény vagy eloszlás olyan matematikai fogalom, amely általánosítja a függvény klasszikus fogalmát . Egy ilyen általánosítás szükségessége számos fizikai és matematikai problémában felmerül.

Az általánosított függvény fogalma lehetővé teszi olyan idealizált fogalmak matematikailag helyes formában történő kifejezését, mint az anyagi pont sűrűsége , ponttöltés, pontdipólus , egyszerű vagy kettős réteg (térbeli) sűrűsége, pillanatnyi forrás intenzitása, stb.

Másrészt az általánosított függvény fogalma azt tükrözi, hogy valóban lehetetlen egy fizikai mennyiség értékét egy pontban mérni, de egy adott pont kis környezetében csak az átlagos értéke mérhető. Így az általánosított függvények technikája kényelmes és megfelelő apparátusként szolgál különféle fizikai mennyiségek eloszlásának leírására. A 20. század elején a matematika nem rendelkezett a szükséges szigorú formalizmusokkal ahhoz, hogy a fizikában felfedezett mennyiségi függőségek új osztályával működjön.

A Η fontos hozzájárulása a fizikában a függvény fogalmának új matematikai megközelítésének kialakításához . M. Günther , aki 1916-ban javasolta a sűrűségtípus pontjellemzői helyett a megfelelő halmazfüggvények figyelembevételét [1] , és ennek alapján próbálta újragondolni a matematikai fizika egyenletének megoldásának koncepcióját. Azonban N.M. Günther ezeket az elképzeléseket nem kapcsolta össze a kialakulóban lévő funkcionális elemzéssel és kvantummechanikával. A véges függvények tereinek felhasználásán és az általánosított derivált alapvetően új koncepcióján alapuló alapvető gondolatokat 1935-ben S. L. Sobolev [2] fogalmazta meg . Tíz évvel később a kiváló francia matematikus, L. Schwartz önállóan is hasonló gondolatokra jutott , a lokálisan konvex terek addigra kidolgozott elméletére támaszkodva, és megszerkesztette az általánosított függvények Fourier-transzformációját [3] . Sobolev és Schwartz az eloszláselmélet – az általánosított függvények – megalkotói. Az általánosított függvényeket empirikusan használta Dirac kvantummechanikai kutatásai során [4] [5] .

Ezt követően az általánosított függvények elméletét számos matematikus és elméleti fizikus intenzíven fejlesztette, főként az elméleti és matematikai fizika, valamint a differenciálegyenletek elméletének szükségletei kapcsán [6] .

Definíció

Formálisan az általánosított függvény egy lineáris folytonos függvény kellően „jó függvények” (úgynevezett alapfüggvények ) egyik vagy másik vektortere felett : [7] . $f$ $\left(f,\varphi \jobb)$ $\varphi$ $f:\varphi \mapsto (f,\;\varphi )$

Linearitási feltétel: . $\left(f,\alpha _{{1}}\varphi _{{1}}+\alpha _{{2}}\varphi _{{2}}\right)=\alpha _{{1}} \left(f,\varphi _{{1}}\right)+\alpha _{{2}}\left(f,\varphi _{{2}}\jobb)$

Folytonossági feltétel: ha , akkor . $\varphi _{{\nu }}\rightarrow 0$ $\left(f,\varphi _{{\nu }}\right)\rightarrow 0$

Az alaptér fontos példája a tér — véges -függvények gyűjteménye -on , amely egy számára természetes topológiával van felszerelve: a függvények sorozata konvergál, ha támaszai egy rögzített gömbhöz tartoznak, és abban -konvergálnak. $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$ $\mathbb {R} ^{n}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $C^\infty$

A k kettős tér az általánosított függvények tere . $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$

A -tól általánosított függvénysorozat konvergenciáját a függvények gyenge konvergenciájaként határozzuk meg -ból , vagyis azt jelenti , hogy bármely esetén . $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{n}\to f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{n},\;\varphi )\to (f,\;\varphi )$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$

Ahhoz , hogy egy lineáris függvény általánosított legyen, azaz szükséges és elégséges, hogy bármely korlátos nyitott halmazhoz létezzenek számok , és olyan, hogy $f$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $K$ $m$

|(f,\;\varphi )|\leqslant K|\varphi |_{{C^{m}}}

mindenki számára, akinek hordozója van . $\varphi$ $\Omega$

Ha az egyenlőtlenségben szereplő szám -től függetlenül választható , akkor az általánosított függvény véges rendű; a legkevesebb ilyen a rend . $m$ $\Omega$ $f$ $m$ $f$

Az általánosított függvények legegyszerűbb példái a lokálisan összegezhető függvények által generált függvények

(f,\;\varphi )=\int \limits _{{\mathbb{R} ^{n))}f\varphi .

A lokálisan összegezhető függvényekkel e képlet szerint meghatározott általánosított függvényeket regulárisnak nevezzük ; a többi általánosított függvényt szingulárisnak nevezzük . $f(x)$

Az általánosított függvényeknek általában nincs értéke az egyes pontokon. Mindazonáltal beszélhetünk egy általánosított függvény egybeeséséről egy lokálisan összegezhető függvénnyel egy nyílt halmazon : egy általánosított függvény a függvényben egy lokálisan összegezhető függvénnyel esik egybe, ha $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\Omega$ $\Omega$ $f_{0}(x)$

(f,\;\varphi )=(f_{0},\;\varphi )

mindenki számára, akinek hordozója van . Konkrétan -nél azt a definíciót kapjuk, hogy az általánosított függvény eltűnik benne . $\varphi$ $\Omega$ $f_{0}=0$ $f$ $\Omega$

A nem szomszédos pontok halmazát, amelyeknek az általánosított függvénye eltűnik, az általánosított függvény támaszának nevezzük, és jelöljük . Ha kompakt , akkor az általánosított függvényt végesnek nevezzük . $f$ $\operatorname {supp} f$ $\operatorname {supp} f$ $f$

Példák

Bármely lokálisan véges mérték egy általánosított függvényt határoz meg $\mu$ $f_{\mu }$

(f_{\mu },\;\varphi )=\int \varphi (x)\,d\mu (x).

Különösen,

Egy példa a szinguláris általánosított függvényre a Dirac -függvény $\mathbb {R} ^{n}$ $\delta$

(\delta ,\;\varphi )=\varphi (0).

A pontban koncentrált 1 tömeg sűrűségét írja le . -a funkciónak 1-es sorrendje van.

x=0

\delta

Felületi funkció. Legyen egy darabonként sima felület, és legyen folytonos függvény a -n . Az általánosított függvényt az egyenlőség határozza meg $\delta$ $S$ $\lambda$ $S$ $f_{{S,\;\lambda }}$

(f_{{S,\;\lambda }},\;\varphi )=\int \limits _{S}\varphi \lambda .

Ráadásul ez egy szinguláris általánosított függvény. Ez az általánosított függvény a felületi sűrűségű felületre koncentrált tömegek vagy töltések térbeli sűrűségét írja le (egyszerű réteg sűrűsége).

f_{{S,\;\lambda }}

S

\lambda

Az egyenlőség által meghatározott általánosított függvény $\rho \in D'(\mathbb{R} )$

(\rho ,\;\varphi )=\operátornév {v.\!p.} \int \limits _{\mathbb {R} }{\frac {\varphi (x)}{x))\ ,dx

(sima véges függvényeknél ez az integrál jelentést is kaphat) a függvény szinguláris és sorrendje egyenlő 2-vel, de nyílt halmazon szabályos és egybeesik -vel .

\rho

\mathbb{R} \backslash \{0\}

{\frac {1}{x))

Műveletek

Az általánosított függvényekre vonatkozó lineáris műveletek az alapvető függvényekre vonatkozó megfelelő műveletek kiterjesztéseként kerültek bevezetésre.

Változók változása

Legyen és a változók sima változása. Az általánosított függvényt az egyenlőség határozza meg $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $V:\mathbb{R} ^{n}\ to \mathbb{R} ^{n}$ $f\circ A$

(f\circ A,\;\varphi )=(f,\;\varphi \circ A^{{-1}}J(A)),

ahol a jakobi . Ez a képlet különösen lineáris leképezésre alkalmazható , lehetővé teszi transzlációsan invariáns, gömbszimmetrikus, centrálisan szimmetrikus, homogén, periodikus, Lorentz-invariáns stb. általánosított függvények meghatározását. $J(A)$ $A$ $A$

Műalkotás

Leggyakrabban az általánosított függvények és a közönséges függvények szorzata kerül meghatározásra, míg az általánosított függvények szorzata definiálatlan marad.

Hagyjuk és . A terméket az egyenlőség határozza meg $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$ $af$

(af,\;\varphi )=(f,\;a\varphi ).

Például , . A közönséges lokálisan összegezhető függvényeknél a szorzat egybeesik a függvények szokásos szorzásával és . $a\delta =a(0)\delta$ $x\rho=1$ $af$ $f(x)$ $fejsze)$

Ez a termékművelet azonban általában véve nem teszi lehetővé a kiterjesztést semmilyen általánosított függvényre, így asszociatív és kommutatív .

Valóban, különben ellentmondást kapnánk:

(x\delta )\rho =0\cdot \rho =0,

(x\rho )\delta =1\cdot \delta =\delta .

Bármilyen általánosított függvény szorzása azonban meghatározható, ha eltávolítjuk azt a meglehetősen szigorú követelményt, hogy ennek a műveletnek a folytonos függvények halmazára való korlátozása egybeessen a szokásos szorzattal. Konkrétan Yu. M. Shirokov megszerkesztette az általánosított függvények nem kommutatív algebráját [8] [9] . Napjainkban Nyugat-Európában és Amerikában nagyon népszerű (lásd például az idézett művek listáját a [10]-ben ) az általánosított Colombo-függvények elmélete (amelynek egyik elsődleges forrása a [11] könyv , a kezdeti a gyakorlatban sokkal gyakrabban használt ún. „speciális” Colombo algebra megismerése, lásd a [12] 8.5. bekezdését ). Ezen elmélet keretein belül az általánosított függvények valamely hányados algebra ekvivalenciaosztályai. A Colombo algebra előnye, hogy asszociatív és kommutatív is. Az általánosított Colombo-függvények szorzása egybeesik a szokásos szorzással, ha az összes sima (vagyis a végtelenül folytonosan differenciálható) függvény halmazára korlátozzuk, míg a folytonos (de nem sima) függvények szorzásával való inkonzisztenciát feloldjuk a asszociáció (kevésbé szigorú, mint az ekvivalencia fogalma). A figyelembe vett szorzás is tökéletesen illeszkedik a klasszikus elemzés standard műveleteihez (pl. differenciálás).

Differenciálás

Hadd . Az általánosított függvény általánosított (gyenge) deriváltját az egyenlőség határozza meg $f\in D'(\mathbb{R} ^{n})$ ${\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$ $f$

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))},\;\varphi \right)=-\left(f,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_ {i}}}\jobbra).

Mivel a művelet lineáris és folytonos től -ig , az egyenlőség jobb oldala által meghatározott funkcionális általánosított függvény. $\varphi \mapsto {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i))}$ $D(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$

Tulajdonságok

A tér teljes : ha az általánosított függvények sorozata olyan , hogy bármely függvényre a numerikus sorozat konvergál, akkor a funkcionális $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $f_{i}$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $\varphi \in D(\mathbb{R} ^{n})$ $(f_{i},\;\varphi )$

(f,\;\varphi )=\lim _{{i\to \infty }}(f_{i},\;\varphi )

tartozik hozzá .

D'(\mathbb{R} ^{n})

Mindegyik a függvény gyenge korlátja . Ezt a tulajdonságot néha egy általánosított függvény definíciójának kiindulópontjának tekintik, az általánosított függvények terének teljességéből ez egy ekvivalens definícióhoz vezet. $f$ $D'(\mathbb{R} ^{n})$ $D(\mathbb{R} ^{n})$
Bármely általánosított függvény végtelenül differenciálható (általánosított értelemben). $D'(\mathbb{R} ^{n})$
A differenciálás nem növeli az általánosított függvény támogatottságát.
Általánosított függvényekre érvényes a szorzat megkülönböztetésére szolgáló Leibniz-képlet , ahol . $af$ $a\in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})$
Bármilyen általánosított függvény egy folytonos függvényből , vagy annak valamilyen parciális deriváltja . $f$ $S'(\mathbb{R} ^{n})$ $E'(\mathbb{R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$
Bármely általánosított sorrendű függvényhez , amely a 0 pontban támogatott, létezik egy egyedi reprezentáció a nullánál lévő parciális deriváltak lineáris kombinációja formájában, amelynek sorrendje kisebb vagy egyenlő, mint . $f$ $N$ $(f,\;\varphi )$ $\varphi$ $N$

Példák

A delta függvényt egy állandó Fourier-integráljának kiszámításával kapjuk meg:

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{ipx}}\,dp=2\pi \delta (x).

Jegyzetek

↑ Sobolev S.L., Smirnov V.I. Nyikolaj Makszimovics Gunther. Bibliográfiai esszé. - M .: GITTL , 1953. - S. 393-405 .
↑ Sobolev S.L. Methode nouvelle a resoundre le probleme de Cauchy pour les equations lineares hyperboliques normales // Matematikai gyűjtemény, No. 1 (43)b 1936b 39-72
↑ Schwartz L. Theorie des Distributs // I, II, Párizs, 1950-1951
↑ Lutzen J. Az eloszláselmélet őstörténete. - New York stb.: Springer Verlag , 1982. - 232 p.
↑ Dirac, P. A. M. A kvantummechanika alapelvei. - M .: Nauka, 1979. - S. 480.
↑ I. M. Gelfand, G. E. Shilov. Általánosított függvények és rajtuk végzett műveletek (neopr.) .
↑ Shilov, G. E. Matematikai elemzés. Második speciális tanfolyam. — M.: Nauka, 1965. — S. 16.
↑ Yu. M. Shirokov, Egydimenziós általánosított függvények algebra. — Elméleti és matematikai fizika . - 1979. - 39. évfolyam - 3. szám - 291-301.
↑ G. K. Tolokonnikov, Yu. M. Shirokov, Általánosított függvények asszociatív algebra, differenciálás és antiderivatív alá zárva. — Elméleti és matematikai fizika . - 1981. - 46. kötet - 3. szám - 305-309., G. K. Tolokonnikov. Az algebrákról Yu. M. Shirokov. I - Elméleti és matematikai fizika . - 1982. - 51. kötet - 3. szám - 366-375.
↑ Colombeau JF nemlineáris általánosított függvények: eredetük, néhány fejlemény és a legújabb fejlesztések. Sao Paulo Mathematical Sciences folyóirat. −2013. - V. 7. - Nem. 2. - P. 201-239.
↑ Colombeau JF Elementary Bevezetés az új általánosított függvényekbe. - Amszterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Colombeau JF Eloszlások szorzása. Előadásjegyzetek matematikából. 1532. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1992. - 195 p. — ISBN 3-540-56288-5 .

Lásd még

Vonós vita