Véges különbség módszer

A véges differencia módszer egy numerikus módszer differenciálegyenletek megoldására , amely a derivált differenciálsémákkal való helyettesítésén alapul . Ez egy rácsos módszer.

Véges különbség módszer elliptikus problémák megoldására

Az elliptikus probléma véges differencia módszerrel történő megoldásához a számítási tartományra rácsot építünk, majd kiválasztunk egy differencia sémát, és minden rácscsomóponthoz felírunk egy differenciaegyenletet (az eredeti egyenlethez hasonlóan, de differencia sémát használva), akkor a peremfeltételeket veszik figyelembe (a második és harmadik típusú peremfeltételekhez is egy bizonyos különbségi séma készül). Kiderül , hogy egy lineáris algebrai egyenletrendszer , amelynek megoldása során a megoldás hozzávetőleges értékeit kapják a csomópontokban.
A módszer fő problémája egy helyes különbségi séma felépítése, amely konvergál a megoldáshoz. A séma az eredeti differenciáloperátor tulajdonságai alapján készült.

Összehasonlítás a végeselemes módszerrel

Egy másik módszer az elliptikus problémák megoldására a végeselem-módszer , amelynek előnyei és hátrányai is vannak a véges különbség módszerével szemben.

Az MKR előnyei	A FEM előnyei
Egyszerű problémák esetén a különbségi séma felépítése gyorsabb	A módszer projekciós, azaz stabil Lehetővé teszi, hogy geometriailag összetettebb területekkel dolgozzon A megoldás azonnal egy függvény, és az értékek bármely ponton azonnal kiszámíthatók (MCS-ben először egy spline-t kell építeni)

Példa

Adjunk meg egy egydimenziós elliptikus feladatot:

$-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$u(0)=u(1)=0$

Építsünk rácsot állandó lépéssel . Közelítéshez egy hárompontos sablont választunk, azaz egy pont deriváltjának közelítéséhez pontokat használunk . Ekkor a különbségi egyenlet így fog kinézni: $h={\frac {1}{4))$ $x_i$ $\left\{x_{{i-1}},x_{i},x_{{i+1}}\jobbra\}$

${\frac {-u_{{i-1}}+2u_{i}-u_{{i+1}}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

A peremfeltételek ismeretében az alak lineáris egyenletrendszere a megoldás megtalálásához így fog kinézni: $Au=b$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\end{b={}}~be {pmatrix}0\\f({\frac {1}{4)))\\f({\frac {1}{2)))\\f({\frac {3}{4)))\ \0\\\end{pmatrix}}$ .

Véges különbség módszer a nem stacionárius problémák megoldására

A problémák megoldása véges különbség módszerrel, amikor a folyamat időben változik, iteratív folyamat - minden iterációnál egy új időrétegen találunk megoldást. Az ilyen problémák megoldására explicit, implicit sémákat és prediktor-korrektort (egy speciálisan kiválasztott explicit és implicit sémát) használnak. Az explicit sémák és a prediktor-korrektor sémák egyszerűen újraszámítják az értéket a korábbi időrétegekből származó információk felhasználásával, az implicit séma alkalmazása egy egyenlet (vagy egyenletrendszer) megoldásához vezet.
A parabolikus és hiperbolikus egyenleteknél gyakran alkalmaznak keverési módszereket - az idő deriváltjait differenciaséma segítségével közelítik, a téroperátort pedig végeselemes formulációval [1] .

Példa egy közönséges differenciálegyenlet megoldására

Adjunk meg egy egyenletet a kezdeti feltétellel . A megoldáshoz a következő különbségi sémákat használjuk: ${\frac {du}{dt}}=u$ $u(0)=1$

Explicit Euler-séma . Differenciálegyenlet: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i}}-u_{{i-1} }}{h}}$ $u_{{i+1}}={\frac {1}{1-h}}u_{{i}}$
Implicit Euler-séma . Differenciálegyenlet: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i+1}}-u_{{i} }}{h}}$ $u_{{i+1}}=(1+ó)u_{i}$

lépéssel . A pontos megoldás a kitevő : $h=0,25$ $u=e^{t}$

Az első néhány lépés számításának eredménye
t érték	Pontos megoldás	Explicit Euler-séma	Implicit Euler-séma
$0,25$	$1.28...$	$1.25$	$1.33...$
$0,50$	$1,64...$	$1,56...$	$1,77...$
$0,75$	$2.11...$	$1,95...$	$2.36...$

A lépés csökkenésével a módszer pontossága növekszik. Mivel az eredeti egyenlet egy lineáris differenciálegyenlet , így az implicit sémához egy lineáris egyenletet is kaptunk, amelyből ki lehet fejezni (ami megtörtént) a megoldást.

Példa parabolaegyenlet megoldására

Ez a példa bemutatja, hogyan kombinálják a végeselem-összetételeket és a különbségi sémákat. Legyen adott a parabola egyenlet:

$-\Delta u+{\frac {\partial u}{\partial t))=f({\mathbf {r)),t),~in~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{{t=0))=\chi ({\mathbf {r)))$

Az időbeli közelítéshez az implicit Euler-séma használatával kapjuk:

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {u^{{i+1}}-u^{{i}}}{\tau }}=f({\mathbf {r}} ,t^{{i+1}})$

Mivel az előző réteg értéke már ismert, így a jobb oldalra áthelyezve elliptikus egyenletet kapunk a következőre vonatkozóan : $u^{{i+1}}$

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }}u^{{i+1}}=f^{{i+1}}+{\frac {1} {\tau }}u^{{i}}$

Ennek az egyenletnek a megoldásához használhatja a Galerkin-módszert , ekkor az eredményül kapott SLAE a következő formájú lesz:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{{i+1}}=b^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }} Mx^{{i}}$ .

Itt: a merevségi mátrix, a tömegmátrix, az eredeti egyenlet jobb oldalához kapcsolódó vektor, a bázisfüggvények súlyvektora a számozott rétegen . $G$ $M$ $b$ $x^i$ $én$

A térbeli megoldás azonban a fent bemutatott példához hasonló különbségi sémával is kereshető.

Lásd még

Irodalom

Samarsky A.A. , Nikolaev E.S. Rácsegyenletek megoldási módszerei. - Moszkva: Nauka , 1978. - 592 p.
Stetter H. A közönséges differenciálegyenletek diszkretizálási módszereinek elemzése. - Moszkva: Mir , 1978. - 461 p.

Jegyzetek

↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Végeselem módszer skaláris és vektoros problémákra. - Novoszibirszk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Véges különbség módszer
Általános cikkek	Véges különbség módszer különbségi séma különbségi egyenlet
A különbségi sémák típusai	Euler módszer Runge-Kutta módszer Adams-módszer Werlet integráció Időtartomány véges különbségének módszere

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek