Interpoláció

A funkcióhoz lásd: Interpolant .

Interpoláció , interpoláció ( lat. inter-polis - " simított, frissített, frissített; átalakított ") - a számítási matematikában , egy függvény ismeretlen köztes értékeinek megtalálása ismert értékeinek meglévő diszkrét halmazából, bizonyos módon . Az "interpoláció" kifejezést először John Vallis használta A végtelen aritmetikája című értekezésében (1656).

A funkcionális elemzésben a lineáris operátorok interpolációja egy olyan szakasz, amely a Banach-tereket egy bizonyos kategória elemeinek tekinti [1] .

A tudományos és mérnöki számításokkal foglalkozók közül sokan gyakran tapasztalati vagy véletlenszerű mintavételezéssel nyert értékkészletekkel dolgoznak . Általános szabály, hogy ezekből a halmazokból olyan függvényt kell alkotni , amelyre más kapott értékek nagy pontossággal eshetnek. Az ilyen feladatot közelítésnek nevezzük . Az interpoláció egy olyan közelítés, amelyben a megszerkesztett függvény görbéje pontosan átmegy a rendelkezésre álló adatpontokon.

Az interpolációhoz közeli probléma is adódik, ami abból áll, hogy valamely összetett függvényt egy másik, egyszerűbb függvénnyel közelítünk. Ha egy függvény túl bonyolult a produktív számításokhoz, akkor több ponton is megpróbálhatjuk kiszámolni az értékét, és ezekből egyszerűbb függvényt építeni, azaz interpolálni. Természetesen az egyszerűsített függvény használata nem teszi lehetővé ugyanazt a pontos eredményt, mint amit az eredeti függvény adna. Egyes problémaosztályokban azonban a számítások egyszerűsége és sebessége meghaladhatja az eredményből eredő hibát .

Meg kell említenünk egy teljesen másfajta matematikai interpolációt is, amelyet "operátor interpolációnak" neveznek. Az operátor-interpolációval foglalkozó klasszikus munkák közé tartozik a Riesz-Thorin- tétel és a Marcinkiewicz-tétel , amelyek sok más munka alapját képezik.

Definíciók

Tekintsünk egy nem egybeeső pontrendszert ( ) valamely területről . A függvény értékeit csak ezeken a pontokon ismerjük: $x_{i}$ $i\in {0,1,\pontok ,N}$ $D$ $f$

y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.

Az interpoláció problémája az, hogy egy adott függvényosztályból olyan függvényt találjunk, amely $F$

F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.

A pontokat interpolációs csomópontoknak , összességüket pedig interpolációs rácsnak nevezzük . $x_{i}$
A párokat adatpontoknak vagy alappontoknak nevezzük . $(x_{i},y_{i})$
A "szomszédos" értékek közötti különbség az interpolációs rács lépése . Változó és állandó is lehet. ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))$
Funkció - interpoláló függvény vagy interpoláló . $F(x)$

Példa

1. Tegyük fel, hogy van egy táblázatfüggvényünk, az alábbiakban leírthoz hasonlóan, amely több érték esetén meghatározza a megfelelő értékeket : $x$ $f$

$x$	$f(x)$
0	0
egy	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
négy	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Az interpoláció segít megtudni, milyen értéke lehet egy ilyen függvénynek a megadott pontoktól eltérő pontban (például x = 2,5-nél).

A mai napig számos különféle interpolációs módszer létezik. A legmegfelelőbb algoritmus kiválasztása a kérdésekre adott válaszoktól függ: mennyire pontos a választott módszer, mennyibe kerül a használata, mennyire gördülékeny az interpolációs függvény, hány adatpontot igényel stb.

2. Keressen egy köztes értéket ( lineáris interpolációval ).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15,5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19,2-15,5)}{1}}=1993.16.$

Interpolációs módszerek

Legközelebbi szomszéd interpoláció

A legegyszerűbb interpolációs módszer a legközelebbi szomszéd interpolációja .

Interpoláció polinomokkal

A gyakorlatban a polinomok általi interpolációt használják leggyakrabban . Ez elsősorban annak tudható be, hogy a polinomok könnyen kiszámíthatók, könnyen analitikusan megtalálhatók a származékaik, és a polinomok halmaza sűrű a folytonos függvények terében ( Weierstrass tétele ).

Lineáris interpoláció
Newton interpolációs képlete
Véges különbség módszer
IMN-1 és IMN-2
Lagrange-polinom (interpolációs polinom)
Aitken séma
spline függvény
köbös spline

Fordított interpoláció (x számítása adott y-nál)

Lagrange polinom
Inverz interpoláció Newton képletével
Inverz Gauss-interpoláció

Több változóból álló függvény interpolációja

Egyéb interpolációs módszerek

Racionális interpoláció
Trigonometrikus interpoláció

Kapcsolódó fogalmak

Extrapoláció - módszerek egy adott intervallumon kívüli pontok megtalálására (görbe kiterjesztése)
Retropoláció - módszerek egy változó ismert értékei alapján annak ismeretlen értékeinek megtalálására egy idősor elején .
Közelítés - közelítő görbék készítésének módszerei

Lásd még

Jegyzetek

↑ Berg, 1980 , p. 6-7.

Irodalom

J. Berg, J. Löfström. interpolációs terek. Bevezetés. — M .: Mir, 1980. — 264 p.
Ibragimov II Függvények interpolációs módszerei és egyes alkalmazásaik. - M . : Felsőiskola , 1971. - 520 p.
Walsh JL Interpoláció és közelítés racionális függvényekkel a komplex tartományban. -M .:Külföldi irodalom, 1961. - 508 p.
Tribel H. Interpoláció elmélete, funkcionális terek, differenciáloperátorok. - M . : Mir , 1980. - 664 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz Britannica (online) Treccani
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11978011w J9U : 987007558186905171 LCCN : sh85067492