Sűrű halmaz

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A sűrű halmaz a tér olyan részhalmaza, amelynek pontjai tetszőlegesen jól közelíthetik a befoglaló tér bármely pontját. Formálisan akkor sűrű, ha bármely pont szomszédsága innen tartalmaz egy elemet . $A$ $x$ $x$ $x$ $A$

Definíciók

Legyen adott egy topológiai tér és két részhalmaz , ekkor azt a halmazt nevezzük sűrűnek a halmazban, ha bármely pont szomszédságában van legalább egy pont -ból , azaz. $(X,{\mathcal {T}})$ $A,B\subset X.$ $A$ $B$ $B$ $A$

\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T))\quad {\bigl (}x\in U{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A \neq \varnothing {\bigr )}.

Egy halmaz mindenütt sűrűnek mondható , ha sűrű benne $A$ $x.$

Megjegyzés

A beállított sűrűség fenti definíciója egyenértékű a következők bármelyikével:

A halmaz akkor és csak akkor sűrű benne, ha a lezárás tartalmaz -t, azaz -t . Különösen mindenütt sűrű, ha . $A$ $B$ $A$ $B$ ${\bar {A}}\supset B$ $A$ ${\bar {A}}=B$
A halmaz akkor és csak akkor sûrû, ha a - kiegészítõ belseje nem metszi egymást -val , azaz . Különösen mindenütt sűrű, ha . $A$ $B$ $A$ $B$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset$ $A$ $\left(A^{\complement }\right)^{0}=\emptyset$

Példák

A racionális számok halmaza sűrű a valós számok terében . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Lásd még

Irodalom

R. A. Aleksandryan, E. A. Mirzakhanyan . Általános topológia - M: Felsőiskola, 1979.
Kelly J. L. Általános topológia - M .: Nauka, 1968
Engelking R. Általános topológia - M .: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elemi topológia Archiválva : 2012. február 19. a Wayback Machine -nél . Tutorial a feladatokban (rus., eng.)