Számítógépes matematika

A számítási matematika a matematikának egy olyan ága, amely különféle számítások készítésével kapcsolatos kérdéseket foglal magában. Szűkebb értelemben a számítási matematika a tipikus matematikai problémák megoldására szolgáló numerikus módszerek elmélete. A modern számítási matematika feladatkörébe tartozik a számítógépes számítástechnika jellemzőinek vizsgálata is .

A számítási matematika számos alkalmazást kínál tudományos és mérnöki számításokhoz. Ennek alapján az elmúlt évtizedben a természettudományok olyan új területei alakultak ki, mint a számítógépes fizika , a számítási kémia , a számítógépes biológia stb.

Történelem

A számítási matematika már régóta létezik. Még az ókori Mezopotámiában is dolgoztak ki módszereket a négyzetgyök meghatározására . A tudományos forradalom korszakában a számítási matematika gyors ütemben fejlődött a gyakorlati alkalmazásokból a számítással párhuzamosan . Ezenkívül az ilyen számításokat széles körben alkalmazták az égi mechanikában az égitestek mozgási pályájának előrejelzésére. Ez a fizika olyan fontos összetevőinek megjelenéséhez vezetett, mint a világszerkezet heliocentrikus rendszerének elmélete , Kepler törvényei és Newton törvényei . A 17. és 18. század jelentős számú numerikus módszer és algoritmus kidolgozásának időszaka lett.

A 19. és 20. századi nagyszámú mérnöki számítások alkalmazása megfelelő műszerek megalkotását tette szükségessé. Az egyik ilyen eszköz a slide rule , a függvényértékek táblázatai is megjelentek 16 tizedesjegy pontossággal, ami segített a számítások elvégzésében. Voltak mechanikus eszközök is a matematikai műveletek elvégzésére, az úgynevezett aritmométer . A 20. század első felében az analóg számítógépeket kezdték aktívan használni differenciálegyenletek megoldására .

A számítógép feltalálása a 20. század közepén egy univerzális matematikai számítási eszköz létrehozását jelentette. A nagyszámítógépekkel együtt csak számológépek álltak a mérnökök és tudósok rendelkezésére kézi műveletek elvégzésére , amelyeket a személyi számítógépek tömeggyártásának megkezdéséig aktívan használtak.

Fő irányok

A számítási matematikában a következő területeket különböztetik meg: matematikai modellek elemzése, szabványos matematikai problémák megoldására szolgáló módszerek és algoritmusok kidolgozása , programozás automatizálása [2] .

A kérdéses feladathoz kiválasztott matematikai modellek elemzése a bemeneti információk elemzésével és feldolgozásával kezdődik, ami nagyon fontos a pontosabb bemeneti adatokhoz. Az ilyen feldolgozáshoz gyakran használják a matematikai statisztikai módszereket . A következő lépés a matematikai feladatok numerikus megoldása és a számítási eredmények elemzése. Az elemzés eredményeinek megbízhatósági fokának meg kell felelnie a bemeneti adatok pontosságának. A pontosabb bemeneti adatok megjelenése szükségessé teheti a megszerkesztett modell továbbfejlesztését vagy akár cseréjét [2] .

A tipikus matematikai problémák számítógépes technológia segítségével történő megoldására szolgáló módszereket és algoritmusokat numerikus módszereknek nevezzük. A tipikus feladatok közé tartozik [2] :

Algebra : lineáris egyenletrendszerek megoldása , mátrix inverzió , sajátértékek és mátrixvektorok keresése (korlátozott és teljes sajátérték-probléma), szinguláris értékek és mátrixvektorok keresése, nemlineáris algebrai egyenletek megoldása, nemlineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása ;
Differenciálegyenletek : egy vagy több változó függvényeinek differenciálása , integrálása , közönséges differenciálegyenletek megoldása , parciális differenciálegyenletek megoldása , differenciálegyenletrendszerek megoldása, integrálegyenletek megoldása;
Optimalizálás: a készleteken lévő funkcionális minimális és maximális értékek tanulmányozása ;
Operations Research and Game Theory : minimax problémák (különösen többlépcsős játékok esetén);
matematikai programozás : közelítési feladatok , interpolációs feladatok , extrapolációs feladatok .

A tipikus problémák megoldására szolgáló módszerek tanulmányozása és összehasonlító elemzése történik. Az elemzés fontos eleme a gazdaságos modellek keresése, amelyek lehetővé teszik az eredmény elérését a legkevesebb művelettel, a megoldási módszerek optimalizálása. Nagy léptékű problémák esetén különösen fontos a módszerek és algoritmusok stabilitásának tanulmányozása, beleértve a kerekítési hibákat is. Az instabil problémák példái az inverz problémák (különösen az inverz mátrix keresése), valamint a kísérletek eredményeinek feldolgozásának automatizálása [2] .

A tipikus feladatok egyre bővülő köre és a felhasználók számának növekedése meghatározta az automatizálással szemben támasztott követelmények növekedését. Olyan körülmények között, ahol a konkrét numerikus módszerek ismerete nem elengedhetetlen a felhasználó számára, megnőnek a szabványos megoldási programok követelményei. Használatukkal a megoldási módszerek programozása nem szükséges, de elegendő a kiindulási információk beállítása [2] .

A számok számítógépes ábrázolásának jellemzői

A számítási matematika közötti fő különbség az, hogy a számítási feladatok megoldása során az ember gépi számokkal operál, amelyek valós számok diszkrét vetületei egy adott számítógép-architektúrára. Tehát ha például egy 8 bájt (64 bit) hosszúságú gépszámot veszünk, akkor csak 2 64 különböző szám tárolható benne, ezért a számítási matematikában fontos szerepet játszanak a gépek pontosságának becslései. algoritmusok és ellenállásuk a gépi számok számítógépben történő megjelenítésével szemben. Ezért például egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához nagyon ritkán használják az inverz mátrix számítását , mivel ez a módszer hibás megoldáshoz vezethet szinguláris mátrix esetén, és nagyon gyakori A lineáris algebrában a mátrix determinánsának és komplementerének kiszámításán alapuló módszer sokkal több aritmetikai műveletet igényel, mint bármely stabil módszer lineáris egyenletrendszer megoldására.

Szoftver

A számítási matematika számos szabványos problémájának megoldására szolgáló algoritmusokat különféle programozási nyelveken valósítják meg. A leggyakrabban használt nyelvek erre a célra a Julia , a Fortran és a C , amelyek könyvtárai megtalálhatók a Netlib adattárában . . Emellett nagyon népszerűek az IMSL és a NAG kereskedelmi könyvtárak., valamint az ingyenes GNU Tudományos Könyvtár .

MATLAB , Mathematica , Maple , S-PLUS szoftvercsomagok, LabVIEW és IDL, valamint ingyenes alternatíváik FreeMat , Scilab , GNU Octave (hasonlóan a Matlabhoz), IT++( C++ könyvtár ), az R (hasonlóan az S-PLUS-hoz) többféle numerikus módszerrel, valamint az eredmények megjelenítésére és megjelenítésére szolgáló eszközökkel rendelkezik.

Számos számítógépes algebrai rendszer , mint például a Mathematica , képes megadni a szükséges aritmetikai pontosságot, ami nagyobb pontosságú eredményeket tesz lehetővé. Ezenkívül a legtöbb táblázat használható egyszerű számítási matematikai feladatok megoldására.

Számítási módszerek

A számítási (numerikus) módszerek matematikai problémák numerikus formában történő megoldására szolgáló módszerek [3]

Mind a kiinduló adatok megjelenítése a feladatban, mind annak megoldása – szám vagy számhalmaz formájában . A mérnökképzés rendszerében a műszaki szakterületek fontos eleme.

A számítási módszerek alapjai a következők:

lineáris egyenletrendszerek megoldása ;
függvények interpolációja és közelítő számítása ;
numerikus integráció ;
nemlineáris egyenletrendszer numerikus megoldása ;
közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása ;
parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása ( matematikai fizika egyenletek );
optimalizálási problémák megoldása .

Lineáris algebrai egyenletrendszer

Egy m lineáris algebrai egyenletrendszer n ismeretlennel (vagy lineáris rendszer , a SLAU rövidítés is használatos) a lineáris algebrában egy olyan egyenletrendszer, amelynek alakja

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(egy)

Itt van az egyenletek száma, és az ismeretlenek száma. x 1 , x 2 , …, x n ismeretlenek, amelyeket meg kell határozni. a 11 , a 12 , …, a mn — a rendszer együtthatói — és b 1 , b 2 , … b m — szabad tagok — ismertek [4] . A rendszer együtthatóinak indexei ( a ij ) jelölik az ( i ) egyenlet, illetve az ismeretlen ( j ) egyenlet számát, amelyen ez az együttható áll [5] . $m$ $n$

Az (1) rendszert homogénnek nevezzük, ha minden szabad tagja nulla ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), egyébként - inhomogén .

Az (1) rendszert másodfokúnak nevezzük, ha az egyenletek m száma egyenlő n számú ismeretlennel.

Az (1) rendszer megoldása n számú c 1 , c 2 , …, c n számból álló halmaz úgy, hogy ha x i helyett minden c i -t behelyettesítünk az (1) rendszerbe, annak minden egyenlete azonossággá változtatja .

Az (1) rendszert kompatibilisnek nevezzük , ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek , ha nincs megoldása.

Az (1) alakú közös rendszernek egy vagy több megoldása lehet.

Az (1) formájú közös rendszer c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) és c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2 ) megoldásai különállónak nevezzük, ha megsérti az egyenlőségek legalább egyikét:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Az (1) alakú együttes rendszert határozottnak nevezzük, ha egyedi megoldása van; ha legalább két különböző megoldása van, akkor határozatlannak nevezzük . Ha több egyenlet van, mint ismeretlen, azt túlhatározottnak nevezzük .

Léteznek direkt és iteratív módszerek a lineáris algebrai egyenletek megoldására. A közvetlen (vagy egzakt) módszerek lehetővé teszik, hogy bizonyos számú lépésben megoldást találjon. Az iteratív módszerek egy iteratív folyamat alkalmazásán alapulnak, és lehetővé teszik a megoldást az egymást követő közelítések eredményeként.

Közvetlen módszerek

Gauss módszer
Gauss-Jordan módszer
Cramer módszer
Mátrix módszer
Sweep módszer ( háromszögű mátrixokhoz )
Cholesky-felbontás vagy négyzetgyök módszer ( pozitív-definit szimmetrikus és hermitikus mátrixokhoz)
Forgatási módszer [6]

Iteratív módszerek

Jacobi módszer
Gauss-Seidel módszer
Relaxációs módszer
Multigrid módszer
Montante módszer
Abramov-módszer (kis SLAE-k megoldására alkalmas)
Általánosított minimális maradékok módszere
Bikonjugált gradiens módszer
Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Másodfokú
Kvázi-minimális maradékok módszere ( QMR )

Interpoláció

Interpoláció , interpoláció - a számítási matematikában egy módja annak, hogy egy mennyiség köztes értékeit megtaláljuk az ismert értékek meglévő diszkrét halmazából.

A tudományos és mérnöki számításokkal foglalkozók közül sokan gyakran tapasztalati vagy véletlenszerű mintavételezéssel nyert értékkészletekkel dolgoznak . Általános szabály, hogy ezekből a halmazokból olyan függvényt kell alkotni , amelyre más kapott értékek nagy pontossággal eshetnek. Az ilyen feladatot közelítésnek nevezzük . Az interpoláció egy olyan közelítés, amelyben a megszerkesztett függvény görbéje pontosan átmegy a rendelkezésre álló adatpontokon.

Az interpolációhoz közeli probléma is adódik, ami abból áll, hogy valamely összetett függvényt egy másik, egyszerűbb függvénnyel közelítünk. Ha egy függvény túl bonyolult a produktív számításokhoz, akkor több ponton is megpróbálhatjuk kiszámolni az értékét, és ezekből egyszerűbb függvényt építeni, azaz interpolálni. Természetesen az egyszerűsített függvény használata nem teszi lehetővé ugyanazt a pontos eredményt, mint amit az eredeti függvény adna. Egyes problémaosztályokban azonban a számítások egyszerűsége és sebessége meghaladhatja az eredményből eredő hibát .

Meg kell említenünk egy teljesen másfajta matematikai interpolációt is, amelyet "operátor interpolációnak" neveznek. Az operátor-interpolációval foglalkozó klasszikus munkák közé tartozik a Riesz-Thorin- tétel és a Marcinkiewicz-tétel , amelyek sok más munka alapját képezik.

Interpolációs módszerek

Interpoláció a legközelebbi szomszéd módszerével .
Lineáris interpoláció
Newton interpolációs képlete
Véges különbség módszer
IMN-1 és IMN-2
Lagrange-polinom (interpolációs polinom)
Aitken séma
spline függvény
köbös spline
Lagrange polinom
Inverz interpoláció Newton képletével
Inverz Gauss-interpoláció
Bilineáris interpoláció
Bikubikus interpoláció
Racionális interpoláció
Trigonometrikus interpoláció
Közelítés - közelítő görbék készítésének módszerei
Extrapoláció - módszerek egy adott intervallumon kívüli pontok megtalálására (görbe kiterjesztése)

Közelítés

Közelítés vagy közelítés - tudományos módszer , amely bizonyos tárgyak másokkal való helyettesítéséből áll, bizonyos értelemben az eredetihez közeli, de egyszerűbb.

A közelítés lehetővé teszi egy objektum numerikus jellemzőinek és minőségi tulajdonságainak feltárását, a problémát az egyszerűbb vagy kényelmesebb objektumok tanulmányozására redukálva (például olyanok, amelyek jellemzői könnyen kiszámíthatók, vagy amelyek tulajdonságai már ismertek). A számelméletben a diofantin közelítéseket tanulmányozzák , különösen az irracionális számok racionális közelítését . A geometriában a görbék szaggatott vonalak szerinti közelítését veszik figyelembe . A matematika egyes ágai lényegében teljes egészében a közelítésnek vannak szentelve, például a függvények közelítésének elmélete , a numerikus elemzési módszerek .

Extrapoláció

Extrapoláció , extrapoláció ( lat. extrā - kívülről, kívülről, kívülről, kivéve és lat. polire - simítás, egyenesítés, változtatás, változtatás [7] ) - a közelítés egy speciális fajtája, amelyben a függvényt adott intervallumon kívül közelítikés nem adott értékek között .

Más szóval, az extrapoláció egy függvény értékeinek hozzávetőleges meghatározása a szakaszon kívül eső pontokban , a pontokban lévő értékekkel . $f(x)$ $x$ $[x_{0},x_{n}]$ $x_{0}<x_{1}<...<x_{n}$

Az extrapolációs módszerek sok esetben hasonlóak az interpolációs módszerekhez. A legelterjedtebb extrapolációs módszer a polinomiális extrapoláció, amelyben a pontban lévő értéket veszik fel a fokú polinom értékének , amely a pontban megadott értékeket veszi fel . A polinomiális extrapolációhoz interpolációs képleteket használnak. $f(x)$ $x$ $P_n(x)$ $n$ $n+1$ $x_{n}$ $y_{i}=f(x_{i})$

Numerikus integráció

Numerikus integráció - egy határozott integrál értékének kiszámítása(általában közelítő). A numerikus integráció alatt egy bizonyos integrál értékének meghatározására szolgáló numerikus módszerek összességét értjük

A numerikus integrációt akkor alkalmazzák, ha:

Maga az integrandus nincs analitikusan definiálva. Például értékek táblázataként (tömbjeként) jelenik meg néhány számítási rács csomópontjain.
Az integrandus analitikus reprezentációja ismert, de antideriváltja nem fejeződik ki analitikus függvényekkel. Például, . $f(x)=\exp(-x^{2})$

Ebben a két esetben lehetetlen kiszámítani az integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével . Az is előfordulhat, hogy az antiderivált alakja annyira összetett, hogy gyorsabban numerikusan ki lehet számítani az integrál értékét.

Egydimenziós tok

A legtöbb numerikus integrációs módszer fő gondolata, hogy az integrandust egy egyszerűbbre cseréljük, amelynek integrálja analitikusan könnyen kiszámítható. Ebben az esetben az integrál értékének becsléséhez az űrlap képletei

I\approx \sum _{{i=1}}^{{n}}w_{i}\,f(x_{i}),

ahol azoknak a pontoknak a száma, amelyeknél az integrandus értéke kiszámításra kerül. A pontokat a módszer csomópontjainak nevezzük, a számok a csomópontok súlyai. Ha az integrandust nulla, első és másodfokú polinomra cseréljük, a téglalapok , a trapézok és a parabolák (Simpson) módszerét kapjuk. Az integrál értékének becslésére szolgáló képleteket gyakran kvadratúra képleteknek nevezik. $n$ $x_{i}$ $w_{i}$

Speciális eset a Cotes-képletek néven ismert, egységes rácsokhoz tartozó integrál kvadratúra képletek megalkotásának módszere . A módszert Roger Coatesről nevezték el . A módszer lényege, hogy az integrandust valamilyen interpolációs polinomra cseréljük . Az integrál felvétele után írhatunk

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{{i=0}}^{{n}}H_{i}\,f(x_{i})+ r_{n}(f),

ahol a számokat Cotes-együtthatónak nevezik , és az integrandus eredeti interpolációs polinomjának megfelelő polinomjainak integráljaként számítják ki a függvény értékénél a csomóponton ( a rács lépése; a rács csomópontjainak száma és a csomópont indexe van ). A kifejezés a módszer hibája, amely többféleképpen is megtalálható. Páratlan esetén a hiba az integrandus interpolációs polinomjának hibájának integrálásával kereshető. $Szia$ $x_{i}=a+ih$ $h=(ba)/n$ $n$ $i=0\ldots n$ $r_{n}(f)$ $n\geqslant 1$

A Cotes-képletek speciális esetei: téglalap-formulák (n=0), trapézformulák (n=1), Simpson-formula (n=2), Newton-formula (n=3) stb.

Parciális differenciálegyenlet

A parciális differenciálegyenlet (a speciális eseteket matematikai fizika egyenletekként is ismerik, UMF ) egy differenciálegyenlet , amely több változó és parciális deriváltjainak ismeretlen függvényeit tartalmazza .

A történészek felfedezték az első parciális differenciálegyenletet Euler felületelméletről szóló , 1734-1735-ig nyúló tanulmányaiban (1740-ben). Modern jelöléssel így nézett ki:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

1743-tól kezdődően d'Alembert csatlakozott Euler munkájához , és általános megoldást talált a húr rezgésének hullámegyenletére . A következő években Euler és d'Alembert számos módszert és technikát publikált bizonyos parciális differenciálegyenletek vizsgálatára és megoldására. Ezek a munkák még nem alkottak teljes elméletet.

E téma fejlődésének második szakasza 1770-1830-ra tehető. Lagrange , Cauchy és Jacobi mélyreható tanulmányai ehhez az időszakhoz tartoznak . A parciális differenciálegyenletek első szisztematikus vizsgálatát Fourier kezdte . Új módszert alkalmazott a karakterláncegyenlet megoldására - a változók szétválasztásának módszerét , amely később a nevét kapta.

A téma új általános megközelítését, amely a folyamatos transzformációs csoportok elméletén alapul, Sophus Lie javasolta az 1870-es években .

Kétféle módszer létezik az ilyen típusú egyenletek megoldására:

analitikus, amelyben az eredményt különféle matematikai transzformációk vezetik le;
numerikus, amelyben a kapott eredmény adott pontossággal megfelel a valósnak, de amely sok rutinszámítást igényel, ezért csak számítástechnika (számítógép) segítségével végezhető el.

Matematikai statisztika

A matematikai statisztika a matematikának egy olyan ága, amely megfigyelési és kísérleti adatok rögzítésére, leírására és elemzésére szolgáló módszereket fejleszt a véletlenszerű tömegjelenségek valószínűségi modelljének felépítése érdekében [8] . A megfigyelések konkrét eredményeinek matematikai jellegétől függően a matematikai statisztikát számstatisztikákra, többváltozós statisztikai elemzésre, függvények (folyamatok) és idősorok elemzésére, valamint nem numerikus objektumok statisztikáira osztják.

Létezik leíró statisztika , becsléselmélet és hipotézisvizsgálati elmélet .

A modern matematikai statisztika nagy része a statisztikai szekvenciális elemzés , amelynek létrehozásához és fejlesztéséhez alapvetően A. Wald járult hozzá a második világháború alatt . A hagyományos (inkonzisztens) fix méretű véletlenszerű mintán alapuló statisztikai elemzési módszerekkel ellentétben a szekvenciális elemzés lehetővé teszi egyenként (vagy általánosabban csoportosan) megfigyelések tömbjének kialakítását, miközben a következő vizsgálat elvégzéséről dönt. megfigyelés (megfigyelések csoportja) a már felhalmozott megfigyelések tömbje alapján történik. Ennek fényében a szekvenciális statisztikai elemzés elmélete szorosan összefügg az optimális megállás elméletével .

A matematikai statisztikában létezik a hipotézisvizsgálat általános elmélete, és számos módszer létezik a konkrét hipotézisek tesztelésére. Hipotéziseket mérlegelnek a paraméterek és jellemzők értékeiről, a homogenitás ellenőrzéséről (vagyis a jellemzők vagy eloszlási függvények egybeeséséről két mintában), az empirikus eloszlásfüggvény egyezéséről egy adott eloszlásfüggvénnyel vagy egy parametrikussal. ilyen függvénycsalád, az eloszlás szimmetriájáról stb.

Kiemelkedő jelentőségű a matematikai statisztikáknak a mintavételes felmérésekhez kapcsolódó része , amely a különböző mintavételi sémák tulajdonságait és a hipotézisek becslésére és tesztelésére alkalmas módszerek felépítését tartalmazza.

Az osztályozások (tipológiák) felépítésének (klaszteranalízis), elemzésének és használatának (diszkriminanciaanalízis) különféle módszereit mintafelismerési módszereknek (tanárral és tanár nélkül), automatikus osztályozásnak stb.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Duncan J. Melville, A tábla fényképe, illusztrációja és leírása a Yale Babylonian Collectionből, Mesopotamian Mathematics, St. Lawrence Egyetem, 2006. szeptember 18 ${\sqrt {2}}$ . Letöltve: 2012. március 18. Az eredetiből archiválva : 2012. augusztus 13.. (határozatlan)
↑ 1 2 3 4 5 Számítógépes matematika / A. N. Tikhonov // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Mucha V.S. Számítási módszerek és számítógépes algebra: tankönyv-módszer. juttatás. — 2. kiadás, javítva. és további - Minszk: BSUIR, 2010.- 148 pp.: iszap, ISBN 978-985-488-522-3 , UDC 519.6 (075.8), BBK 22.19ya73, M92
↑ Ebben a cikkben a rendszeregyütthatókat, a szabad tagokat és az ismeretleneket valós számoknak tekintjük, bár lehetnek összetett vagy akár összetett matematikai objektumok is, feltéve, hogy szorzási és összeadási műveleteket definiáltak rájuk.
↑ Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra: Tankönyv egyetemeknek. - 6. kiadás, törölve. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 p.
↑ Verzsbitszkij V. M. A numerikus módszerek alapjai. - M . : Felsőiskola , 2009. - S. 80-84. — 840 p. — ISBN 9785060061239 .
↑ Extrapoláció: etimológia Archivált : 2013. június 17. a Wayback Machine -nél
Interpolate: ethymology
↑ A matematika valószínűségi szakaszai / Szerk. Yu. D. Maksimova. - Szentpétervár. : "Ivan Fedorov", 2001. - S. 400 . — 592 p. — ISBN 5-81940-050-X .

Irodalom

Számítógépes matematika / N. S. Bakhvalov // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Számítógépes matematika / A. N. Tyihonov // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Számítási matematikai módszerek]. - Novoszibirszk: Nauka, 1973.
Babenko K. I. A numerikus elemzés alapjai. - M .: Nauka, 1986.
Bakhvalov N. S. Numerikus módszerek. 3. kiadás - M. , 2003.
Voevodin VV A párhuzamos számítástechnika matematikai alapjai. - M. : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1991. - 345 p.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Párhuzamos számítástechnika. - Szentpétervár. : BHV-Petersburg, 2002. - 608 p.
B. P. Demidovich , I. A. Maron: A számítási matematika alapjai. - 2. kiadás - M . : Állami fizikai és matematikai irodalom kiadó, 1963.
Dyachenko VF A számítási matematika alapfogalmai. - M .: Nauka, 1972.
Számítási módszerek komplex dinamikus rendszerek modelljeinek elemzésére: Proc. például az egyetemi hallgatók támogatása. "Alkalmazott matematika és fizika" / A. I. Lobanov , I. B. Petrov ; Oktatási Minisztérium Ros. Föderáció. Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet (Állami Egyetem). - M .: MIPT, 2000. - 21 cm.
- 1. rész - 2000. - 168 p. : ill., tab.; ISBN 5-7417-0149-3
- 2. rész - 2002. - 154 p. : ill.; ISBN 5-7417-0199-X
Számítógépes matematika: előadássorozat / A. I. Lobanov, I. B. Petrov . - Moszkva: Fizmatkniga, 2021. - 475 p. : ill.; 22 lásd - (Fizikai tanfolyamok).; ISBN 978-5-89155-341-5 : 300 példány
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. A magasabb szintű elemzés közelítő módszerei. - M. - L .: GIITL, 1949.

Linkek

Matek szoftver
Szimbolikus számítások	Alapigazság rés juharfa Mathcad Mathematica Maxima Csökkentse Zsálya SMath Stúdió Yacas
Numerikus számítások	Fityk FreeMat GAUSS GNU Octave gnuplot gretl Julia Labplot LabVIEW MagicPlot MATLAB eredet QtiPlot R SciDAVis Scilab Szigma cselekmény Beszélj nyugodtan VisSim