Mátrix módszer

A nem nulla determinánsú lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrixos módszere (az inverz mátrixon keresztüli megoldás módszere ) a következő.

Adjunk meg egy ismeretleneket tartalmazó lineáris egyenletrendszert (tetszőleges mező felett): $n$

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \ cdots ,\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n};\end{cases}}$

Ezután átírható mátrix formában:

$AX=B$ , ahol a rendszer fő mátrixa, illetve a rendszer szabad kifejezéseinek és megoldásainak oszlopai: $A$ $B$ $x$

$A={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\lpontok &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\lpontok &a_{{2n }}\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\lpontok &a_{{nn}}\end{pmatrix}},B={\begin {pmátrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix)),X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\ \vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Szorozzuk meg ezt a bal oldali mátrixegyenletet - a mátrix inverzével : $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}\left(AX\right)=A^{{-1}}B$

Mióta megkapjuk . Ennek az egyenletnek a jobb oldala az eredeti rendszer megoldásainak oszlopát adja meg. A módszer alkalmazhatóságának feltétele (valamint annak, hogy egy inhomogén lineáris egyenletrendszerre általánosan létezik megoldás, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával) az A mátrix nem degeneráltsága . ennek elégséges feltétele az A mátrix determinánsának nullával való egyenlőtlensége: $A^{{-1}}A=E$ $X=A^{{-1}}B$

\det A\neq 0

Egy homogén lineáris egyenletrendszerre, vagyis amikor a vektor , a fordított szabály igaz: a rendszernek csak akkor van nem triviális (vagyis nem nulla) megoldása, ha . A homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásai közötti ilyen kapcsolatot Fredholm-alternatívának nevezzük . $B=0$ $AX=0$ $\detA=0$

Példa egy inhomogén SLAE megoldására

${\begin{cases}3x+2y-z=4,\\2x-y+5z=23,\\x+7y-z=5;\end{cases))$

Először is győződjön meg arról, hogy az ismeretlen SLAE -k együtthatói mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

${\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-1&5\\1&7&-1\end{vmatrix}}=3-14+10-1-105+4=-103;$

Most kiszámítjuk az ismeretlenek együtthatóiból álló mátrix elemeinek algebrai komplementereit . Szükségünk lesz rájuk az inverz mátrix megtalálásához .

$A_{{11}}=(-1)^{{1+1}}\cdot {\begin{vmatrix}-1&5\\7&-1\end{vmatrix}}=-34;$

$A_{{12}}=(-1)^{{1+2}}\cdot {\begin{vmatrix}2&5\\1&-1\end{vmatrix}}=7;$

$A_{{13}}=(-1)^{{1+3}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\1&7\end{vmatrix}}=15;$

$A_{{21}}=(-1)^{{2+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\7&-1\end{vmatrix}}=-5;$

$A_{{22}}=(-1)^{{2+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=-2;$

$A_{{23}}=(-1)^{{2+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&7\end{vmatrix}}=-19;$

$A_{{31}}=(-1)^{{3+1}}\cdot {\begin{vmatrix}2&-1\\-1&5\end{vmatrix}}=9;$

$A_{{32}}=(-1)^{{3+2}}\cdot {\begin{vmatrix}3&-1\\2&5\end{vmatrix}}=-17;$

$A_{{33}}=(-1)^{{3+3}}\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\2&-1\end{vmatrix}}=-7;$

Ezután keresse meg a társított mátrixot , transzponálja és helyettesítse be az inverz mátrix megtalálásához szükséges képletbe .

$C^{{*}}={\begin{pmatrix}-34&7&15\\-5&-2&-19\\9&-17&-7\end{pmátrix}});$

$(C^{{*)))^{{T}}={\begin{pmátrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmátrix}});$

$A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}\cdot (C^{{*}})^{{T}}$

Ha behelyettesítjük a változókat a képletben, a következőt kapjuk:

$A^{{-1}}={\frac {1}{-103}}\cdot {\begin{pmatrix}-34&-5&9\\7&-2&-17\\15&-19&-7\end{pmátrix ))={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7 }{103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103} }&{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}});$

Marad az ismeretlen megtalálása. Ehhez megszorozzuk az inverz mátrixot és a szabad tagok oszlopát.

$X=A^{{-1}}\cdot B;$

$X={\begin{pmatrix}{\frac {34}{103}}&{\frac {5}{103}}&-{\frac {9}{103}}\\-{\frac {7} {103}}&{\frac {2}{103}}&{\frac {17}{103}}\\-{\frac {15}{103}}&{\frac {19}{103}} &{\frac {7}{103}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\ \4\end{pmatrix}}$

Tehát x = 2; y=1; z = 4.

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás