Szinguláris mátrix

A degenerált mátrix (szinonimák: szinguláris mátrix , szinguláris mátrix , szinguláris mátrix ) olyan négyzetmátrix , amelynek determinánsa nulla. $A,$ $\det(A)$

Egyenértékű degenerációs feltételek

A lineáris algebra különféle fogalmait használva különféle degenerációs feltételek adhatók meg:

A mátrix sorai vagy oszlopai lineárisan függenek egymástól . Egy speciális esetben, ha egy degenerált mátrixnak legalább két olyan sora (vagy két oszlopa) van , amelyek teljesítik azt a feltételt , ahol a skalár , akkor a mátrix degenerált lesz. Ez azt a triviális esetet jelenti, hogy minden nulla oszlopot vagy sort tartalmazó négyzetmátrix degenerált. ${\displaystyle {\bf {{x}_{i))))$ ${\bf {{x}_{j},}}$ $a{\bf {{x}_{i}={\bf {{x}_{j},}}}}$
Egy négyzetes mátrix akkor és csak akkor degenerált , ha létezik olyan nullától eltérő vektor , amely Más szóval a szabványos alap mátrixának megfelelő lineáris operátornak nullától eltérő magja van . $A$ $x,$ $Ax=0.$
Egy négyzetes mátrix akkor és csak akkor degenerált , ha legalább egy nulla sajátértéke van. Ez következik abból az egyenletből, amelyet minden mátrix sajátérték kielégít: (ahol E az azonosságmátrix ), valamint abból is, hogy a mátrix determinánsa egy mátrix egyenlő sajátértékeinek szorzatával. $A$ $\lambda =0.$ $\det(A-\lambda E)=0$

Tulajdonságok

Egy degenerált mátrixnak nincs szabványos inverz mátrixa . Ugyanakkor egy degenerált mátrixnak van egy pszeudo-inverz mátrixa (általánosított inverz mátrix), vagy akár végtelen sok belőlük.
Egy degenerált mátrix rangja kisebb, mint a mérete (sorok száma).
Egy degenerált mátrix és bármely azonos méretű négyzetmátrix szorzata egy degenerált mátrixot ad. Ez a tulajdonságból következik. Bármilyen pozitív egész hatványra emelt degenerált mátrix degenerált marad. Tetszőleges számú mátrix szorzata akkor és csak akkor degenerált, ha legalább az egyik tényező degenerált. A nem degenerált mátrixok szorzata nem lehet degenerált. $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).$
Egy degenerált mátrix transzponálása degenerált marad (mivel a transzpozíció nem változtatja meg a mátrix determinánsát, ). $\det(A^{T})=\det(A)$
Egy degenerált mátrixot skalárral megszorozva degenerált marad (mert ahol n az A degenerált mátrix mérete , α egy skalár). $\det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)=0$
A degenerált mátrix hermitikus konjugált mátrixa degenerált (mivel a Hermiti konjugált mátrix determinánsa összetett konjugált az eredeti mátrix determinánsához, és ezért egyenlő nullával).
A degenerált mátrix unió (kölcsönös, adjunkt) mátrixa degenerált (ez az uniómátrixok tulajdonságából következik ). Egy degenerált mátrix és a rokon mátrix szorzata nulla mátrixot ad : mivel egy tetszőleges négyzetmátrixhoz ${\displaystyle \det(\operátornév {adj} (A))=(\det A)^{n-1))$ $A\cdot \operátornév {adj} (A)=\operátornév {adj} (A)\cdot A=0,$ $A\cdot \operátornév {adj} (A)=\operátornév {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot E.$
Egy háromszög alakú (és különösen az átlós ) mátrix akkor és csak akkor degenerált, ha a főátlón legalább egy eleme nulla. Ez abból a tényből következik, hogy a háromszög alakú mátrix determinánsa egyenlő a főátlóján lévő elemek szorzatával.
Ha az A mátrix degenerált, akkor az egyenletrendszernek nullától eltérő megoldásai vannak. $Ax=0$
Egy degenerált mátrix sorainak vagy oszlopainak megváltoztatása degenerált mátrixot eredményez.
Egy degenerált mátrix, amelyet lineáris operátornak tekintünk, egy vektorteret képez le annak alsó dimenziós alterébe.

Különleges esetek

A degenerált mátrixok különösen:

nulla mátrix (csak nullákból áll);
n > 1 méretű egyesek mátrixa (csak egyesekből áll) ;
nilpotens mátrixok (mátrixok, amelyek bármely természetes hatványa nulla mátrix);
- shift mátrixok (nilpotens mátrixok egy részhalmaza);
Vandermonde mátrix , ha legalább két paramétere megegyezik;
Gell-Mann mátrixok szabványos ábrázolásban (kivéve λ 8 );
A Kirchhoff-mátrix (más néven Laplace-mátrix) egy gráf mátrixábrázolása.

Lásd még

Irodalom

Gantmakher, F. R. Mátrixelmélet. - 2. kiadás -M .:Nauka, 1966. (Orosz)
Lancaster, P. Mátrixelmélet . - M .: Nauka , 1973. (Orosz)