Transzponált mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. június 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A transzponált mátrix egy olyan mátrix , amelyet az eredeti mátrixból kapunk úgy, hogy a sorokat oszlopokkal helyettesítjük. $A^{T}$ $A$

Formálisan a méretmátrix transzponált mátrixa a méretmátrix , amelyet a következőképpen határozunk meg . $A$ $m\szer n$ $A^{T}$ $n \szer m$ $A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}$

Például,

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\ vége{bmátrix}}

és

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\ \2&4&6\end{bmátrix}}\;

Azaz ahhoz, hogy az eredeti mátrixból transzponált mátrixot kapjunk, az eredeti mátrix minden sorát oszlopként kell felírni ugyanabban a sorrendben.

Transzponált mátrixok tulajdonságai

A kétszer transzponált A mátrix egyenlő az eredeti A mátrixszal.

(A^{T})^{T}=A

A mátrixok transzponált összege egyenlő a transzponált mátrixok összegével.

{\megjelenítési stílus (A+B)^{T}=B^{T}+A^{T))

A mátrixok transzponált szorzata megegyezik a fordított sorrendben vett transzponált mátrixok szorzatával.

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}

Transzponáláskor skalárt vehetünk ki.

{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T))

A transzponált mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával.

\det A=\det A^{T}

Kapcsolódó definíciók

A szimmetrikus mátrix (szimmetrikus mátrix) olyan mátrix, amely kielégíti a relációt. $S^{T}=S$

Ahhoz, hogy egy mátrix szimmetrikus legyen, szükséges és elegendő, hogy: $S$

a mátrix négyzet volt ; $S$
a főátlóra szimmetrikus elemek egyenlőek voltak, azaz . ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji))$

Az antiszimmetrikus (ferde-szimmetrikus) mátrix (antiszimmetrikus, ferde-szimmetrikus) olyan mátrix, amely kielégíti a relációt. $A^{T}=-A$

Ahhoz, hogy egy mátrix antiszimmetrikus legyen, szükséges és elegendő, hogy: $A$

a mátrix négyzet volt ; $A$
a főátlóra szimmetrikus elemek abszolút értékben egyenlőek, előjelben pedig ellentétesek voltak, azaz . $A_{ij}=-A_{ji}$

Ebből következik, hogy az antiszimmetrikus mátrix főátlójának elemei egyenlők nullával : . $A_{ii}=0$

Bármely négyzetes mátrixhoz létezik egy reprezentáció , $M$ $M=S+A$

ahol a szimmetrikus rész és az antiszimmetrikus rész. $S={\frac {M+M^{T}}{2}}$ $A={\frac {MM^{T}}{2}}$

Lásd még

Konjugált transzpozíciós mátrix

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb