Minkowski tér

A Minkowski - tér egy négydimenziós pszeudo-euklideszi aláírási tér , amelyet a speciális relativitáselmélet tér-idejének geometriai értelmezéseként javasoltak . $(1,\;3)$

Minden esemény a Minkowski-tér egy pontjának felel meg, lorentzi (vagy galilei) koordinátákkal, amelyek közül három koordináta a háromdimenziós euklideszi tér derékszögű koordinátája, a negyedik pedig a koordináta , ahol a fénysebesség . az esemény időpontja. A térbeli távolságok és az eseményeket elválasztó időintervallumok kapcsolatát az intervallum négyzete jellemzi : $ct$ $c$ $t$

s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}-(x_{1}-x_{0})^{2}-(y_{1 }-y_{0})^{2}-(z_{1}-z_{0})^{2}.

(Gyakran az ellentétes értéket veszik az intervallum négyzetének, az előjel megválasztása önkényes megegyezés kérdése. Így kezdetben maga Minkowski pontosan az ellenkező előjelet javasolta az intervallum négyzetére).

Az intervallum a Minkowski-térben a távolság szerepével analóg szerepet játszik az euklideszi terek geometriájában. Invariáns , amikor az egyik inerciális vonatkoztatási rendszert egy másikra cseréljük, ahogy a távolság is invariáns, amikor az euklideszi térben elfordul, tükröződik és eltolja az origót . Az euklideszi tér esetében a koordinátaforgatáshoz hasonló szerepet játszik a Minkowski-térben a Lorentz-transzformáció .

Az intervallum négyzete analóg az euklideszi tér távolságának négyzetével. Ez utóbbival ellentétben az intervallum négyzete nem mindig pozitív, és a különböző események közötti intervallum nullával is egyenlő lehet.

Kapcsolódó definíciók

A fenti intervallumképlettel meghatározott Minkowski-tér pszeudoeuklideszi metrikáját Minkowski- metrikának vagy Lorentzi -metrikának nevezik . A Lorentzi-metrika vagy egy metrika, amely a kiválasztott koordinátákban kifejezetten megfelel ennek a definíciónak (és így meghatározza a koordináták kiválasztását), vagy olyan metrika, amely a folytonos koordináták megfelelő megválasztásával ilyen metrikára redukálható. A Lorentz metrikus tenzort általában jelölik , és ez határozza meg az aláírás másodfokú formáját . A Lorentzi-metrika vagy a Minkowski-metrika kifejezés 4-től eltérő dimenziók esetén is használható. Ekkor ez általában azt jelenti, hogy az egyik koordináta az idő szerepét tölti be, a többi pedig a térbeli koordinátákat. $\eta _{{ij}}$ $(1,\;-1,\;-1,\;-1)$
Az összes nulla négyzet alakú intervallumvektor halmaza kúpos felületet alkot, és ezt fénykúpnak nevezzük .
A fénykúp belsejében elhelyezkedő négyes vektort időszerű vektornak nevezzük, a fénykúpon kívül - térszerű, a fénykúp - nullán fekszik [1] .
Egy adott időpontban egy adott pontban bekövetkezett eseményt világpontnak nevezzük .
A világpontok azon halmazát, amely egy részecske (anyagpont) időbeni mozgását írja le, világvonalnak nevezzük . Ez a kifejezés elvileg az absztrakt („képzeletbeli”) pontok mozgásának leírására is alkalmazható, de elsősorban a valós fizikai testek mozgásának leírására szolgál (beleértve a fényimpulzusok terjedését is).
Inerciális megfigyelő : egy inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban lévő vagy egyenletesen és egyenesen (és transzlációsan, koordinátarendszerének elforgatása nélkül) mozgó megfigyelő. A lorentzi (galilei) koordinátákban ennek a megfigyelőnek a világvonala (és a referenciakeretében rögzített összes pont) különösen egyszerűnek tűnik: ez egy egyenes, ahol egy paraméter, és 1-ről 4-re változik - ekkor a negyedik koordináta az idő koordinátája nulla. $x^{i}=x_{0}^{i}+u^{i}a\;,$ $a\;$ $én$
A két esemény közötti intervallumot, amelyen az inerciális megfigyelő világvonala áthalad, osztva -vel , saját idejének nevezzük , mivel ez az érték egybeesik a megfigyelővel együtt mozgó óra által mért idővel. Egy nem inerciális megfigyelő számára a két esemény közötti megfelelő idő a világvonal mentén lévő intervallum integráljának felel meg. $c$
Ha a világpontokat összekötő vektor időszerű, akkor létezik egy vonatkoztatási rendszer, amelyben az események a háromdimenziós tér ugyanazon pontján történnek.
Ha két esemény világpontját összekötő vektor térszerű, akkor van egy vonatkoztatási rendszer, amelyben ez a két esemény egyidejűleg történik; nem függnek össze ok-okozati összefüggésben; az intervallum modulus határozza meg ezen pontok (események) közötti térbeli távolságot ebben a vonatkoztatási rendszerben.
Egy görbét, amelynek érintővektora minden pontjában időszerű, időszerű egyenesnek nevezzük . A térszerű és az izotróp („fényszerű”) görbéket hasonlóképpen határozzuk meg.
Az adott világpontból kiáramló összes világfényvonal halmaza általában az összes bejövővel együtt egy kétlapos kúpos hiperfelületet alkot, amely Lorentz-transzformáció esetén invariáns, izotróp vagy fénykúp . Ez a hiperfelület elválasztja az adott világpont kauzális múltját, oksági jövőjét, valamint a Minkowski-tér okságilag független (térszerű) régióját az adott világponttal.
Bármely közönséges fizikai test világvonalának érintővektora időszerű vektor.
A fény világvonalának érintővektora (vákuumban) izotróp vektor.
Egy hiperfelületet, amelynek minden érintővektora térszerű, térszerű hiperfelületnek nevezzük (a kezdeti feltételeket egy ilyen hiperfelületen adjuk meg), de ha a hiperfelület minden pontjában van egy időszerű érintővektor, akkor egy ilyen felületet időszerűnek (on egy ilyen hiperfelület, peremfeltételek gyakran megadhatók).
A Minkowski-tér mozgáscsoportja, vagyis a metrikát megőrző transzformációk csoportja a 10 paraméteres Poincare-csoport , amely 4 transzlációból áll - 3 térbeli és 1 időbeli, 3 tisztán térbeli és 3 tér-idő elforgatásból. , más néven boosts . Az utolsó 6 együtt alkotja a Poincaré-csoport egy alcsoportját, a Lorentz-transzformációk csoportját . Így a Minkowski-tér egy négydimenziós metrikus tér a lehető legnagyobb szimmetriával, és 10 gyilkos vektorral rendelkezik .
A Minkowski-térben a koordináták fizikailag értelmes osztályai a Lorentzi-koordináták (vagy Galilei-koordináták), a Rindler-koordináták és a Born-koordináták . Nagyon kényelmes (különösen kétdimenziós esetben) az izotróp koordináták vagy fénykúp koordináták.
Az általános relativitáselméletben a Minkowski-tér a vákuum Einstein-egyenleteinek triviális megoldása (nulla energia-impulzus tenzorral és nulla lambda taggal ).

Történelem

Ezt a teret Henri Poincaré fedezte fel és vizsgálta meg 1905-ben és Herman Minkowski 1908 - ban .

Henri Poincaré volt az első, aki megállapította és részletesen tanulmányozta a Lorentz-transzformációk egyik legfontosabb tulajdonságát , a csoportszerkezetüket , és kimutatta, hogy "a Lorentz-transzformáció nem más, mint egy forgás a négydimenziós térben, amelynek pontjainak koordinátái vannak ". [2] . Így Poincaré, legalább három évvel Minkowski előtt, egyetlen négydimenziós téridővé egyesítette a teret és az időt [3] . $(x,y,z,it)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Field theory. - M .: Nauka, 1967. - S. 30.
↑ Poincare A. Az elektron dinamikájáról // A relativitás elve: Szo. a relativizmus klasszikusainak művei. - M . : Atomizdat , 1973. - S. 90-93, 118-160.
↑ Fushchich V.I., Nikitin A.G. Maxwell-egyenletek szimmetriája. - Kijev: Naukova Dumka, 1983. - 6. o.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 11979629v GND : 4293944-6 J9U : 987007563505905171 LCCN : sh95008990 LNB : 000153202 NKC : ph117887

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb