Tér-idő diagram

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 23-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 12 szerkesztést igényelnek .

A tér-idő diagramot , más néven Minkowski-diagramot , 1908-ban dolgozta ki Hermann Minkowski , és a tér és az idő tulajdonságait szemlélteti a speciális relativitáselméletben . Matematikai egyenletek nélkül lehetővé teszi az olyan jelenségek minőségi megértését, mint az idődilatáció és a Lorentz-kontrakció .

A Minkowski-diagramok egy kétdimenziós grafikon , amely az univerzumban előforduló eseményeket ábrázolja , és amely egy tér- és egy idődimenzióból áll. A hagyományos idő-távolság grafikonoktól eltérően a távolság a vízszintes tengelyen, az idő pedig a függőleges tengelyen jelenik meg. Ezenkívül a tengelyek mértékegységeit úgy választják meg, hogy a fénysebességgel mozgó objektum 45°-os szöget zár be a diagram tengelyeivel.

Így minden objektumot, például egy megfigyelőt vagy járművet, egy adott vonal jelzi a diagramon, amelyet világvonalának nevezünk . Ezenkívül a diagram minden egyes pontja egy adott helyet jelent térben és időben, és eseménynek nevezzük , függetlenül attól, hogy mi történik ott.

Alapok

A "Minkowski-diagram" kifejezést általános és sajátos értelemben is használják. Általában a Minkowski-diagram a Minkowski-tér egy részének kétdimenziós grafikus ábrázolása , általában egy térbeli dimenzióra korlátozva. Ezekben a diagramokban a mértékegységeket úgy vettük, hogy az esemény fénykúpja egy plusz vagy mínusz lejtős vonalakból álljon [1] . A vízszintes vonalak megfelelnek az egyidejű események szokásos fogalmának az origó helyén álló megfigyelő számára.

A Lorentz-transzformációk eredményét egy külön Minkowski-diagram szemlélteti . A Lorentz-transzformációk két inerciális vonatkoztatási rendszert kapcsolnak össze , ahol a stacioner megfigyelőnyugalom (0, 0) megváltoztatja a sebességet az x tengely mentén . A megfigyelő új időtengelye α szöget zár be az előző időtengellyel, ahol α < . Az új vonatkoztatási rendszerben az egyidejű események párhuzamosak egy olyan egyenessel, amely α -val hajlik az egyidejűség előző vonalára. Ez az új x tengely . Mind az eredeti, mind az új tengelykészletnek megvan az a tulajdonsága, hogy merőlegesek a Minkowski-térben lévő belső (skaláris) szorzathoz vagy egy pontban a relativisztikus szorzathoz képest .

Bármi legyen is α értéke, a t = x egyenes egy univerzális [2] felezőmetszetet alkot .

A térbeli és időbeli tengely mértékegységei például az alábbiak szerint választhatók:

Így a fénypályákat a tengelyek közötti szög felezőjével párhuzamos egyenesek ábrázolják.

Tér-idő diagramok a newtoni fizikában

A mellékelt diagramban x és ct jelzésű fekete tengelyek a nyugalmi megfigyelő koordinátarendszerét jelentik, aki x = 0 helyen van . A megfigyelő világvonala egybeesik a ct időtengellyel . Minden ezzel a tengellyel párhuzamos vonal egy álló objektumnak felel meg, de eltérő helyzetben. A kék vonal egy állandó v sebességgel jobbra mozgó objektumot ír le, például egy mozgó megfigyelőt.

A ct' feliratú kék vonal a második megfigyelő időtengelyeként értelmezhető. Az út tengelyével együtt ( x -szel jelölve és mindkét megfigyelőnél azonos) a koordinátarendszerüket jelenti. Mindkét megfigyelő egyetért a koordinátarendszerük eredetének helyével. A mozgó megfigyelő tengelyei nem merőlegesek egymásra , és az időtengelyén lévő skála megfeszül. Egy adott esemény koordinátáinak meghatározásához két egyenest kell húzni, amelyek mindegyike párhuzamos az eseményen áthaladó két tengely valamelyikével. A tengelyekkel való metszéspontjaik adják meg az esemény koordinátáit.

Az A esemény helyének és időpontjának a diagramon történő meghatározása a várakozásoknak megfelelően mindkét megfigyelő számára azonos időt eredményez. Különböző értékeket kapunk a pozícióra, mert a mozgó megfigyelő megközelítette az A esemény pozícióját, mivel t = 0 . Általános szabály, hogy a pályatengellyel ( x -tengely) párhuzamos egyenes minden eseménye egyszerre történik mindkét megfigyelő számára. Csak egy globális idő van t = t ′ , amely egy közös pozíciótengely létezését modellezi. Másrészt a két különböző időtengely miatt a megfigyelők általában ugyanahhoz az eseményhez különböző útkoordinátákat mérnek. Ezt a grafikus transzformációt x -ből és t -ből x' -be és t'- be , és fordítva, matematikailag az úgynevezett Galilei-transzformációk írják le .

Tér-idő diagramok a speciális relativitáselméletben

Albert Einstein (1905) megállapította, hogy a newtoni leírás téves [3] . Hermann Minkowski 1908-ban adta meg grafikus értelmezését [4] . A térnek és az időnek olyan tulajdonságai vannak, amelyek eltérő szabályokhoz vezetnek a koordináták transzformációjához mozgó megfigyelők esetén. Különösen azok az események, amelyek az egyik megfigyelő szemszögéből egyidejűleg következnek be, a másik szemszögéből különböző időpontokban következnek be.

A Minkowski-diagramon az egyidejűségnek ez a relativitáselmélete megfelel egy külön úttengely bevezetésének a mozgó megfigyelő számára. A fent leírt szabályt követve minden megfigyelő egyidejűleg értelmezi az összes eseményt az útja tengelyével párhuzamos egyenesen. Az események sorrendje a megfigyelő szemszögéből grafikusan szemléltethető, ha a diagramban ezt a sort alulról felfelé toljuk.

Ha az időtengelyekhez ct van hozzárendelve t helyett , akkor a két x és x' úttengely közötti α szög azonos lesz a ct és ct' időtengelyek közötti szöggel . Ez a speciális relativitáselmélet második posztulátumából következik, amely szerint a fénysebesség minden megfigyelő számára azonos, relatív mozgásától függetlenül (lásd alább). Az α szöget az [5] képlet adja meg.

.

A megfelelő transzformációt x -ből és t -ből x' -be és t' -be és fordítva, matematikailag Lorentz-transzformációk írják le . Függetlenül attól, hogy egy ilyen transzformációból mely térbeli és időbeli tengelyek keletkeznek, a Minkowski diagramon ezek konjugált átmérőknek felelnek meg.hiperbolapárok . _ A tengelyek mentén a léptékek a következők: ha U  egységnyi hossz a ct és x tengely mentén, akkor az egységhossz a ct' és x' tengely mentén : [6]

A ct tengely  az óra S -ben nyugvó világvonala , U az ezen a világvonalon előforduló két esemény közötti időtartamot jelöli, amelyet ezen események közötti megfelelő időnek is neveznek . Az x tengelyen lévő U hosszúság az S -ben nyugvó rúd megfelelő hosszát jelenti . Ugyanez az értelmezés alkalmazható az S' -ben nyugvó órák és rudak ct'- és x'-tengelyén lévő U' távolságára is .

Loedel diagramok

Míg a nyugalmi helyzetben lévő referenciakeret tér- és időtengelyei derékszöget zárnak be, addig a mozgó referenciakeretben a tengelyek hegyesszöget alkotnak. Mivel a vonatkoztatási kereteknek egyenértékűnek kell lenniük, az a benyomásunk támad, hogy egy ilyen aszimmetria sérti az ekvivalenciát. Mindazonáltal kimutatták, hogy van egy köztes vonatkoztatási rendszer a nyugalmi és a mozgásban lévő "között", amelyben ez a szimmetria látható ("köztes vonatkoztatási rendszer") [7] . Ebben a vonatkoztatási rendszerben a két eredeti vonatkoztatási rendszer azonos sebességgel ellentétes irányban mozog. Az ilyen koordináták használatával mindkét tengely hossz- és időegységei azonosak. Ha β =vcés γ =egy√ 1 − β 2S és S' között vannak megadva, akkor ezek a kifejezések az S 0 közbülső rendszer értékeire vonatkoznak a következőképpen: [7] [8]

Például, ha S és S' között β = 0,5 , akkor a (2) alapján az S 0 közbülső rendszerben megközelítőleg ±0,268 s -ról mozognak különböző irányokba. Másrészt, ha β 0 = 0,5 S 0 -ban, akkor (1) alapján az S és S' közötti relatív sebesség a saját referenciakeretükben 0,8 c . Az S és S' tengelyek felépítése a szokásos módszer szerint történik, tan α = β 0 használatával a közbenső referenciakeret merőleges tengelyeihez képest (1. ábra).

Kiderült azonban, hogy egy ilyen szimmetrikus diagram megalkotásakor lehetőség van diagramok közötti összefüggésekre, még akkor is, ha közbenső vonatkoztatási rendszert és β 0 -t egyáltalán nem használunk . Ehelyett S és S' között a relatív sebesség β =vca következő kifejezésben ugyanazt az eredményt adja: [9] Ha φ a ct ′ és ct (vagy x és x ′ ) tengelyek közötti szög , és θ az x ′ és ct ′ tengelyek közötti szög , akkor: [9] [ 10] [11] [12]

A 2. ábrán két konstrukciós módszer látható: (a) az x -tengelyt a ct' tengelyre merőlegesen irányítjuk , az x' és ct -tengelyeket φ szögben összeadjuk ; (b) az x' -tengelyt θ szögben húzzuk be a ct'-tengelyhez képest , az x -tengelyt a ct'-tengelyre merőlegesen , a ct - tengelyt pedig merőlegesen az x'-tengelyre.

A vektor komponensei jól szemléltethetők a következő diagramokkal (3. ábra): az R vektor párhuzamos vetületei ( x , t ; x ′ , t ′) annak kontravariáns komponensei, ( ξ , τ ; ξ ′, τ ) ′) a kovariáns komponensei [10] [11] .

Idő lassulása

A relativisztikus idődilatáció azt jelenti, hogy a megfigyelőhöz képest mozgó órák (melyek a megfelelő időt mutatják ) lelassulnak. Valójában maga az idő egy mozgó óra referenciakeretében lassú. Ez azonnal látható a szomszédos Loedel-diagramból, mert a két tengelyrendszerben a hosszegységek azonosak. Így ahhoz, hogy két rendszer mért értékeit összehasonlíthassuk, egyszerűen összehasonlíthatjuk a hosszúságokat az oldalon látható módon: nem kell figyelembe vennünk azt a tényt, hogy az egyes tengelyeken lévő hosszegységeket egy tényező torzítja.

amelyeket a megfelelő Minkowski-diagramban kellene figyelembe vennünk.

Feltételezzük, hogy a megfigyelő, akinek a vonatkoztatási keretét a fekete tengelyek adják, az O origóból A-ba mozog. A mozgó óra referenciakeretét a kék tengelyek adják meg, és O-ból B-be mozog. Fekete megfigyelő esetén minden esemény, amely egyidejűleg történik az eseménnyel az A pontban, amely a térbeli tengelyével párhuzamos egyenesen helyezkedik el. Ez az egyenes áthalad A-n és B-n, így A és B egyidejűek a megfigyelő vonatkoztatási rendszerében fekete tengelyekkel. A fekete megfigyelőhöz képest mozgó óra azonban a kék időtengelyen jelöli az időt. Ezt az O-tól B-ig terjedő távolság ábrázolja. Ezért az A pontban lévő fekete tengelyű megfigyelő óráját az O-tól A-ig terjedő távolságnak tekinti, míg egy önmagához képest mozgó óra esetében az O-tól B-ig terjedő távolságnak. Tekintettel arra, hogy O és B távolsága kisebb, mint O és A távolsága, arra a következtetésre jut, hogy a hozzá képest mozgó órán eltelt idő kevesebb, mint a saját óráján eltelt idő.

A második megfigyelő az órával együtt haladva O-ból B-be azt fogja érvelni, hogy az első órája csak a C időpontot érte el, ezért az első órája lassabban jár. E paradoxnak tűnő kijelentések oka a különböző helyeken bekövetkező események egyidejűségének eltérő meghatározása. A relativitás elve miatt az a kérdés, hogy kinek van igaza, megválaszolhatatlan és értelmetlen.

Lorentz-összehúzódás

A relativisztikus hosszösszehúzódás azt jelenti, hogy a megfigyelőhöz képest mozgó objektum hossza csökken, sőt maga a tér is összezsugorodik. Feltételezzük, hogy a megfigyelő is a ct tengely mentén mozog , és a hozzá képest mozgó tárgy szélső pontjainak világvonalai a ct' tengely mentén , párhuzamosan mozognak az A és B pontokon átmenő egyenessel. ennek a megfigyelőnek a t = 0 -nál lévő objektum szélső pontjai O és A. A tárggyal együtt mozgó második megfigyelő számára úgy, hogy számára a tárgy nyugalomban van, saját OB hossza van t' =0 helyen . Mivel az OA<OB objektum le van redukálva az első megfigyelő számára.

A második megfigyelő azt állítja, hogy az első megfigyelő különböző időpontokban vette az objektum végpontjait O és A pontokon, ami helytelen eredményt eredményezett. Ha egy második megfigyelő egy másik objektum hosszát találja meg, amelynek végpontjai a ct tengely mentén mozognak, és egy párhuzamos egyenes van C-n és D-n keresztül, akkor ugyanarra a következtetésre jut, hogy az objektum OD-ból OC-ba van tömörítve. Mindegyik megfigyelő úgy értékeli a tárgyakat, hogy a másik megfigyelő csökkenti a mozgását. Ez a látszólag paradox helyzet az egyidejűség relativitásának következménye, amint azt a Minkowski-diagram segítségével végzett elemzés is bizonyítja.

Mindezen megfontolások alapján azt feltételezték, hogy mindkét megfigyelő figyelembe veszi a fénysebességet és az általa látott események távolságát annak érdekében, hogy meghatározzák az események tényleges pillanatait, amikor az ő szemszögükből következnek.

A fénysebesség állandósága

A speciális relativitáselmélet másik posztulátuma a fénysebesség állandósága. Kimondja, hogy az inerciális vonatkoztatási rendszerben lévő bármely megfigyelő, aki a vákuumban önmagához viszonyított fénysebességet méri, ugyanazt az értéket kapja, függetlenül saját mozgásától és a fényforrás mozgásától. Ez az állítás paradoxnak tűnik, de közvetlenül következik a rá kapott differenciálegyenletből, és összhangban van a Minkowski diagrammal. Ez magyarázza a Michelson-Morley-kísérlet eredményét is , amely a relativitáselmélet felfedezése előtt rejtélynek számított, amikor a fotonokat nem észlelhető közegben hullámoknak tekintették.

Az origón különböző irányú fotonok világvonalaira az x = ct és az x = − ct feltételek teljesülnek . Ez azt jelenti, hogy egy ilyen világvonalon lévő bármely pozíció ugyanazoknak az x és ct koordinátaértékeknek felel meg . A ferde koordinátarendszerben a koordináták megszerzésére vonatkozó szabályból következik, hogy ez a két világegyenes az x és ct tengelyek által alkotott szögek felezője . A Minkowski diagram azt mutatja, hogy ezek egyben az x' és ct' tengelyek szögfelezői is . Ez azt jelenti, hogy mindkét megfigyelő ugyanazt a c sebességet méri mindkét fotonra.

Más, tetszőleges sebességű megfigyelőknek megfelelő koordinátarendszerek is hozzáadhatók ehhez a Minkowski-diagramhoz. Mindezen rendszerek esetében a fotonok világvonalai a koordinátatengelyek által alkotott szögfelezők. Minél közelebb van a megfigyelő sebessége a fénysebességhez, a tengelyek annál jobban megközelítik a megfelelő szögfelezőket. Az úttengely mindig laposabb, az időtengely pedig meredekebb, mint a fotonok világvonalai. A skála mindkét tengelyen mindig ugyanaz, de általában különbözik a többi koordinátarendszertől.

A fénysebesség és az oksági elv

A fotonok origóján átmenő és a világvonalnál meredekebb egyenesek a fénysebességnél lassabban mozgó testeknek felelnek meg. Ez minden megfigyelő szemszögéből igaz, hiszen a fotonok világvonalai szögfelezők bármely tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben. Ezért mindkét foton origója feletti és világvonalai közötti bármely pont elérhető a fénysebességnél kisebb sebességgel, és ok-okozati összefüggésben lehet az origóval. Ez a terület az abszolút jövő, mert ezen a területen minden esemény később következik be, mint az origónál, függetlenül a megfigyelőtől, ami jól látható a Minkowski diagramon.

Hasonlóképpen az origó alatti és a foton világvonalak közötti terület az origóhoz viszonyított abszolút múlt. Bármilyen esemény ebből a területről lehet az oka egy eseménynek az eredetben.

Bármely ilyen eseménypár közötti kapcsolatot időszerűnek nevezzük , mivel minden megfigyelő esetében van egy nem nulla pozitív időintervallum közöttük. Két ilyen eseményt összekötő egyenes mindig lehet egy olyan megfigyelő időtengelye, akinél ezek az események a térben ugyanazon a helyen történnek. Két olyan eseményt, amelyeket csak a fénysebességnek megfelelő egyenes köthet össze, fényszerűnek nevezünk .

A Minkowski-diagramhoz hozzáadható még egy térdimenzió, ami háromdimenziós ábrázolást eredményez. Ebben az esetben a jövő és a múlt régiói olyan kúpokká válnak , amelyek csúcsai az origóban érintik egymást. Világos kúpoknak hívják őket .

A fénysebesség mint határ

A fenti példához hasonlóan az origón áthaladó és a foton világvonalaknál vízszintesebb vonalak a fénysebességnél gyorsabban mozgó tárgyaknak vagy jeleknek felelnek meg , függetlenül a megfigyelő sebességétől. Ezért a fénykúpokon kívüli eseményt az origóból sem fényjel, sem fénysebességnél kisebb sebességgel mozgó tárgy vagy jel nem érheti el. Az ilyen eseménypárokat térszerűnek nevezzük , mivel véges, nullától eltérő térbeli távolságuk van minden megfigyelő számára. Az ilyen eseményeket összekötő egyenes mindig egy lehetséges megfigyelő térbeli koordinátatengelye, akinél ezek az események egyidejűleg történnek. Ennek a koordináta-rendszernek a sebességének mindkét irányú enyhe változtatásával mindig találhatunk két tehetetlenségi vonatkoztatási rendszert, amelyek megfigyelői eltérőnek tartják ezen események időrendi sorrendjét.

Így, ha egy tárgy a fénynél gyorsabban mozog, például O-ból A-ba, amint az a mellette lévő diagramon látható, akkor ez azt jelentené, hogy bármely megfigyelő számára, aki megfigyeli egy objektum mozgását O-ból A-ba, még egy megfigyelő található. (az elsőhöz képest a c fénysebességnél kisebb sebességgel mozog), amelyre a tárgy A-ból O-ba mozog. Arra a kérdésre, hogy melyik megfigyelőnek van igaza, nincs egyértelmű válasza, ezért nincs fizikai jelentése. Bármely ilyen módon mozgó tárgy vagy jel sértené az okság elvét.

Ezenkívül a fénysebességnél gyorsabb jelek küldésének képessége lehetővé teszi az információk továbbítását a forrás saját múltjába. Az ábrán az x - ct keretben lévő O-nál lévő megfigyelő fénynél gyorsabb üzenetet küld A-nak. Az A pontban azt egy másik megfigyelő veszi az x' - ct' keretben (vagyis más sebességgel), aki a fénysebességnél is gyorsabban küldi vissza B-ben. De B a múltban van O tekintetében. A helyzet abszurditása abban rejlik, hogy utólag mindkét megfigyelő megerősíti, hogy nem. egyáltalán nem fogadnak üzeneteket, és az összes üzenetet nem kapták meg, hanem mindegyiktől elküldték a másik megfigyelőnek, ahogy ez a Minkowski diagramon is látható. Ezen túlmenően, ha lehetséges lenne a megfigyelőt fénysebességre gyorsítani, akkor a térbeli és időbeli tengelyük egybeesne a szögfelezővel. A koordináta-rendszer összeomlana attól a ténytől, hogy az idődilatáció olyan értéket ér el, hogy az idő múlása egyszerűen leáll.

Ezek a megfontolások azt mutatják, hogy a fénysebesség határa a téridő tulajdonságainak következménye, és nem a tárgyak tulajdonságai, mint például technológiailag - az űrhajók tökéletlensége. Így a Minkowski-térben a fénynél gyorsabb mozgás tilalma semmi köze az elektromágneses hullámokhoz vagy a fénnyel, hanem a téridő szerkezetéből fakad.

Egy gyorsuló megfigyelő tér-idő diagramjai a speciális relativitáselméletben

A gyorsan gyorsuló megfigyelő (középen) világvonala mentén pillanatnyilag mozgó inerciális referenciakeretek. A függőleges irány az időt, a vízszintes a távolságot, a szaggatott vonal a megfigyelő tér-idő pályáját ("világvonal") jelzi. A kis pontok konkrét események a téridőben. Ha ezeket az eseményeket fényvillanásnak tekinti, akkor a kép alsó felében (a múltbeli megfigyelő fénykúpja az origóban) a két átlós vonalon átmenő események a megfigyelő számára látható események. A világvonal meredeksége (a függőlegestől való eltérés) adja meg a megfigyelő relatív sebességét. Figyelje meg, hogyan változik a pillanatnyilag mozgó tehetetlenségi keret a megfigyelő gyorsulásával.

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Mermin (1968) 17. fejezet
  2. ↑ Lásd Vladimir Karapetov
  3. ↑ Einstein, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , 10. sz . - S. 891-921 . - doi : 10.1002/andp.19053221004 . - Iránykód . . Lásd még: Angol fordítás Archivált 2005. november 25-én a Wayback Machine -nél .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (német)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1909. - Bd. 10 . - S. 75-88 .
    • Különféle fordítások a Wikiforrásban: Tér és idő
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mechanika és termodinamika  (neopr.) . — illusztrálva. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Kivonat a 93. oldalból archiválva 2020. augusztus 11-én a Wayback Machine -nél
  6. ↑ Freund, Jürgen. Speciális relativitáselmélet kezdőknek: Tankönyv egyetemistáknak  (angol) . - World Scientific , 2008. - P. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanov, Dmitrij. La Transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (melléklet): folyóirat. - 1921. - 1. évf. 3 . - P. 46-48 . (Fordítás: A Lorentz-Einstein transzformáció és Ed. Guillaume egyetemes ideje )
  8. ↑ Shadowitz, Albert. Az elektromágneses mező  (neopr.) . - Reprint of 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - P. 460. - ISBN 0486132013 . Lásd: [ [1]  a " Google Books " Google Books című részben, 1. o. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leo. A relativitáselmélet megértése: Einstein elméleteinek egyszerűsített megközelítése  . – University of California Press , 1996. – P. 151ff. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Gruner, Paul; Szauter, József. Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité  (francia)  // Archives des sciences physiques et naturelles: magazin. - 1921. - 1. évf. 3 . - P. 295-296 . (Fordítás: A speciális relativitáselmélet képleteinek elemi geometriai ábrázolása )
  11. ↑ 1 2 Gruner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (német)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Fordítás: A speciális relativitáselmélet transzformációs képleteinek elemi geometriai ábrázolása )
  12. ↑ Shadowitz, Albert. Speciális relativitáselmélet  (neopr.) . - Reprint of 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Források