Galilei transzformációk

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

Galilei transzformációk - a klasszikus mechanikában ( Newtoni mechanika ) és a nem relativisztikus kvantummechanikában : koordináták és sebesség transzformációk az egyik inerciális referenciakeretből (ISR) a másikba való átmenet során [1] . A kifejezést Philipp Frank javasolta 1909 - ben [2] . A Galilei transzformációi a Galilei relativitás elvén alapulnak , amely minden referenciarendszerben azonos időt jelent ("abszolút idő" [3] ).

A Galilei-transzformációk korlátozó (speciális) esetei a Lorentz-transzformációknak olyan sebességeknél, amelyek kicsik a fény sebességéhez képest vákuumban és korlátozott térfogatú térben. A Naprendszerben lévő bolygók sebességének nagyságrendjéig (és még ennél is nagyobb) sebességeknél a Galilei-transzformációk nagyon nagy pontossággal megközelítőleg helyesek.

A relativitáselv követelménye (posztulátuma), Galilei intuitíven nyilvánvalónak tűnő transzformációival együtt nagymértékben meghatározza a newtoni mechanika szerkezetét. Az olyan további gondolatok mellett, mint a tér szimmetriája és a szuperpozíció elve ilyen vagy olyan formában (amely sok test kölcsönhatásának egyenértékűségét e testek képzeletbeli egymást követő páronkénti kölcsönhatásainak összetételének rövid időintervallumában megállapítja), Galilei transzformációi gyakorlatilag elegendő alapja lehet a newtoni mechanika megfogalmazásának (a következtetés annak alapvető törvényei).

Transzformációk típusa kollineáris tengelyekhez [4]

Ha az IFR S' az IFR S -hez képest állandó sebességgel mozog a tengely mentén , és az origó mindkét rendszerben a kezdeti időpontban egybeesik, akkor a Galileo-transzformációk a következőképpen alakulnak: $te\$ $x\$

x=x'+ut,\

{y}=y',\

{z}=z',\

t=t'\

vagy vektoros jelöléssel,

{\vec {r}}={\vec {r}}'+{\vec {u}}t,\

t=t'\

(az utolsó képlet igaz marad a koordinátatengelyek bármely irányára).

Amint láthatja, ezek csak képletek az origó eltolására, amely lineárisan függ az időtől (amit feltételezünk, hogy minden referenciarendszernél azonos).

Ezekből a transzformációkból következik az összefüggés a pont sebességei és gyorsulásai között mindkét vonatkoztatási rendszerben:

{\vec {v}}={\vec {v'}}+{\vec {u}},

{\vec {a}}={\vec {a'}}

A Galilei-transzformációk a Lorentz-transzformációk korlátozó (speciális) esetei alacsony (a fénysebességnél jóval kisebb) sebességeknél. $u\ll c$

Galileo csoportja

A galilei csoport az inerciális vonatkoztatási rendszerek osztályának önmagába való transzformációinak halmaza , kombinálva időbeli fordításokkal. [5] A galileai csoport fő átalakulásai szintén csoportok:

Az időreferencia eredetében bekövetkezett változásnak megfelelő időfordítások: $P_{0}:t\rightarrow t'=t+\tau ,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x}$
A koordináták origójának változásának megfelelő tér fordítása : $P_{3}:t\rightarrow t'=t,\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =\mathbf {x} +\mathbf {a}$
Galilei transzformációk , relatív sebességgel mozgó referenciarendszerek összekapcsolása : $\mathbf{v}$ ${\displaystyle K:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=-v_{k}t+x_{k))$
Descartes-tengelyek forgása : . A háromdimenziós tér speciális ortogonális csoportját alkotják . ${\displaystyle R:t\rightarrow t'=t,x_{k}\rightarrow x_{k}'=R_{kl}x_{l))$ $SO(3)$

itt - idő, - koordináták az euklideszi térben , - a vonatkoztatási rendszerek relatív sebessége, - ortogonális mátrix . $t$ $\mathbf {x}$ $R^{3}$ $\mathbf{v}$ $R$

Galilei csoportgenerátorok

Jelöljük a forgáscsoport generátoraiként - a tér-idő transzláció generátorait, - a Galileo-transzformációk generátorait, a szimbólumot - a Lie algebra kommutátorát . A Galilei csoport generátorait a következő kommutációs relációk kötik össze: [6] ${\displaystyle l_{k))$ $P_{\mu },\mu =0,1,2,3$ $K_{i},i=1,2,3$ $[...,...]$

{\displaystyle [l_{k},l_{m}]=\varepsilon _{kmn}l_{n))

{\displaystyle [l_{k},P_{m}]=\varepsilon _{kmn}P_{n))

{\displaystyle [l_{k},K_{m}]=\varepsilon _{kmn}K_{n))

[l_{k},P_{0}]=[P_{\mu },P_{\nu }]=[K_{m},K_{n}]=[P_{m},K_{n }]=0

{\displaystyle [P_{0},K_{m}]=P_{m))

itt: , - az algebra szerkezeti állandói - mátrixok. $k,m,n=1,2,3;\mu ,\nu =0,1,2,3$ $\varepsilon _{kmn}$ $\sigma$

Sebességkonverziós képlet

Elég a Galilei-féle transzformációk fent megadott képletében megkülönböztetni , és azonnal megkapjuk a mellette lévő, ugyanabban a bekezdésben megadott sebesség-transzformációs képletet. ${\vec {r))$

Tegyünk egy elemibb, de egyben általánosabb következtetést is - arra az esetre, ha az egyik rendszer referenciapontja tetszőlegesen elmozdul a másikhoz képest (forgás hiányában). Egy ilyen általánosabb esethez megkaphatja például a sebesség-konverziós képletet így.

Tekintsük az origó tetszőleges eltolásának transzformációját a vektorba , ${\vec r}_{o}$

ahol valamely A test sugárvektora a K referenciakeretben , a K' referenciakeretben pedig -ként lesz jelölve , ${\vec {r))$ ${\vec {r'))$

ami azt jelenti, mint a klasszikus mechanikában mindig, hogy az idő mindkét vonatkoztatási rendszerben azonos, és minden sugárvektor ettől az időtől függ: . $t$ ${\vec r}_{o}={\vec r}_{o}(t),{\vec r}={\vec r}(t),{\vec {r'))={\vec {r'}}(t)$

Aztán bármikor

{\vec r}={\vec r}_{o}+{\vec {r'))

és különösen figyelembe véve

\Delta {\vec r}={\vec r}(t+\Delta t)-{\vec r}(t),~\Delta {\vec r}_{o}={\vec r}_{o }(t+\Delta t)-{\vec r}_{o}(t),~\Delta {\vec {r'}}={\vec {r'}}(t+\Delta t)-{\ vec{r'}}(t)

nekünk van:

{\begin{mátrix}{\vec r}(t)={\vec r}_{o}(t)+{\vec {r'}}(t)\\{\vec r}(t+\Delta t)={\vec r}_{o}(t+\Delta t)+{\vec {r'}}(t+\Delta t)\end{mátrix}}({\Bigg \}}}\quad \ Jobbra \quad \Delta {\vec r}=\Delta {\vec r}_{o}+\Delta {\vec {r'))\quad \Rightarrow \quad {\frac {\Delta {\vec r} }{\Delta t))={\frac {\Delta {\vec r}_{o)){\Delta t))+{\frac {\Delta {\vec {r'))}{\Delta t }}

$\Rightarrow \quad \langle {\vec {V}}\rangle =\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle {\vec {V'}}\rangle$

ahol:

\langle {\vec {V}}\rangle

az A test átlagos sebessége a K rendszerhez viszonyítva ;

\langle {\vec {V))'\rangle

- az A test átlagos sebessége a K' rendszerhez viszonyítva ;

\langle {\vec {V}}_{o}\rangle

a K' rendszer átlagos sebessége a K rendszerhez viszonyítva .

Ha akkor az átlagos sebességek egybeesnek a pillanatnyi sebességgel : $\Delta t\jobbra 0$

{\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;{\Bigg (}\langle {\vec {V}}_{o}\rangle +\langle { \vec {V'}}\rangle {\Bigg )}={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}

vagy rövidebb

{\vec V}\;={\vec V}_{o}+{\vec {V'}}

- mind az átlagos, mind a pillanatnyi sebességekhez (sebesség-összeadási képlet).

Így egy test sebessége egy rögzített koordinátarendszerhez viszonyítva egyenlő a test sebességének mozgó koordinátarendszerhez viszonyított és a referenciarendszer rögzített referenciarendszerhez viszonyított sebességének vektorösszegével.

(Hasonlóan kaphatunk egy képletet a gyorsulások transzformációjára, amikor egyik koordinátarendszerből a másikba haladunk, ami helyes, feltéve, hogy a rendszerek egymáshoz viszonyított mozgása egyenletesen gyorsul és transzlációs:) . ${\vec a}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Galilei transzformációk a nemrelativisztikus kvantummechanikában

A Schrödinger-egyenlet a nemrelativisztikus kvantummechanikában invariáns a galilei transzformációk alatt. Ebből a tényből számos fontos következmény következik: a galilei transzformációkhoz kapcsolódó kvantummechanikai operátorok létezése ( Schrödinger-csoport ), tömegspektrumú állapotok vagy instabil elemi részecskék leírásának lehetetlensége a nemrelativisztikus kvantummechanikában ( Bargmann-tétel ), a galilei transzformációk által generált kvantummechanikai invariánsok létezése [7] .

Jegyzetek

↑ Mivel tisztán kinematikai jellegűek, a Galilei-transzformációk nem inerciális vonatkoztatási rendszerekre is alkalmazhatók - de csak az egymáshoz viszonyított egyenletes egyenes vonalú transzlációs mozgásuk feltétele mellett -, ami ilyen esetekben korlátozza fontosságukat. Ez a tény az inerciális vonatkoztatási rendszerek kitüntetett szerepével együtt oda vezet, hogy az esetek túlnyomó többségében éppen ez utóbbival összefüggésben tárgyalják Galilei transzformációit.
↑ Frank P./Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.—Ila, Bd 118.—S. 373. (főleg 382. o.).
↑ Az abszolút időtől fogva a fizikát általánosságban véve fel kellett hagyni a 20. század elején - hogy a relativitás elvét erős megfogalmazásában megőrizzék, ami azt a követelményt jelenti, hogy a fizika minden alapvető egyenlete azonosan legyen felírva (inerciális; később a relativitás elvét kiterjesztették a nem inerciális) vonatkoztatási rendszerre is.
↑ A fizika szempontjából alapvetően csak az az eset érdekes, amikor azon inerciarendszerek koordinátatengelyei (ha egyáltalán alkalmazzák a koordinátaábrázolást; ez a kérdés a szimbolikus vektoros írásforma szempontjából irrelevánsnak tekinthető) transzformációt hajtanak végre, ugyanúgy irányítják. Elvileg különböző módon irányíthatók, de az ilyen típusú transzformációk csak fizikai szempontból érdekesek, mivel a jelen cikkben tárgyalt együttirányú tengelyekkel és egy rögzített transzformációra redukálódnak. A koordinátatengelyek (időfüggetlen) forgatása , amely tisztán geometriai problémát jelent, ráadásul elvileg egyszerű. A tengelyek időtől függő elforgatása a koordinátarendszerek egymáshoz viszonyított elforgatását jelentené, és legalább az egyik ilyenkor nem lehet inerciális.
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Szimmetriacsoportok és elemi részecskék. - L., Leningrádi Állami Egyetem , 1983. - p. tizenegy
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov, A.A. Szimmetriacsoportok és elemi részecskék. - L., Leningrádi Állami Egyetem , 1983. - p. tizennyolc
↑ Kaempfer, 1967 , p. 390.

Irodalom

Kaempfer F. A kvantummechanika alapjai. — M .: Mir, 1967. — 391 p.

Lásd még

Galileo Galilei
Életrajz és tudományos eredmények	Galilei folyamat • Galilei óra szökés • Galilei műholdak • Galilei transzformációk • Lehulló testek vizsgálata • Termoszkóp • Celatone • Galilei Paradoxon
Eljárás	Assayer • Párbeszéd a világ két fő rendszeréről • Sidereus Nuncius • Beszélgetések és két új tudomány matematikai bizonyítékai
Egy család	Vincenzo Galilei (apa) • Michelangelo Galilei (testvér) • Vincenzo Gamba (fia) • Maria Celesta (lánya) • Marina Gamba (törvényes feleség)