Bargman tétele

A Bargman-tétel a fázistranszformációk nemrelativisztikus kvantummechanika tulajdonságaira vonatkozó állítás , amely megtiltja a különböző tömegű részecskéknek megfelelő hullámfüggvények szuperpozíciójának leírását. Ezt először Valentin Bargman bizonyította 1954-ben [1] .

Megfogalmazás

A nemrelativisztikus kvantummechanikában lehetetlen olyan állapotokat leírni, amelyekben tömegspektrum vagy instabil elemi részecskék vannak.

Bizonyítás

Tekintsük a Schrödinger egyenletet : . Tekintsük a következő alak Galilei-transzformációját: , , ahol a térbeli forgást leíró állandó ortogonális mátrix, a Galilei-transzformációt leíró állandó sebességvektor , a térbeli origó állandó eltolási vektora, az időreferencia állandó eltolódása . Tekintsük a Galilei-transzformációt valamilyen unitáris operátor alkalmazásának eredményeként , amely a hullámfüggvényt a következőképpen alakítja át: . Az invariancia a Galilei-transzformációhoz képest azt jelenti, hogy ugyanazt a Schrödinger-egyenletet kell kielégítenie, mint : . A , tulajdonságok felhasználásával behelyettesítjük -be . Ennek eredményeként a következőket kapjuk : Az utolsó tag egyenlő nullával, ha a Schrödinger-egyenlet teljesül, mivel és függetlenek, ezért két feltétel következik: , . Ha az első feltételt behelyettesítjük a másodikba, azt kapjuk . Az integrálás eredményeképpen a következőt kapjuk: , ahol az integrációs állandó. Így a transzformációs fázis az integrációs állandó megválasztásával sem zárható ki. Ebből következik, hogy nincsenek nemrelativisztikus kvantummechanikai állapotok, amelyeket a különböző tömegű részecskéknek megfelelő hullámfüggvények lineáris szuperpozíciói írnának le. A nemrelativisztikus kvantummechanikában lehetetlen olyan állapotokat leírni, amelyekben tömegspektrum vagy instabil elemi részecskék vannak. [2] $i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi =0$ $q\jobbra q'=Rq+Vt+a$ $t\jobbra t'=t+b$ $R$ $V$ $a$ $b$ $U$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $\psi'$ $\psi$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ ${\frac {\partial }{\partial t))={\frac {\partial }{\partial t'))+V\nabla '$ $\nabla =R\nabla '$ $\nabla ^{2}=\nabla '^{2}$ $\Psi '(q,t)=e^{{if}}\Psi (q',t')$ $i{\frac {\partial \Psi '}{\partial t}}-{\frac {1}{2M}}\nabla ^{{2}}\Psi '=0$ $\left[-{\frac {\partial f}{\partial t'}}-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\ frac {i}{2m}}\nabla '^{{2}}f\right]e^{{if}}\Psi +i\left(V-{\frac {1}{m}}\nabla ' f\right)e^{{if}}\nabla '\Psi +\left(i{\frac {\partial \Psi }{\partial t'}}-{\frac {1}{2m}}\nabla '^{{2}}\Psi \right)e^{{if}}=0$ $\psi$ $\nabla '\Psi$ $\nabla 'f=mV$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-V\nabla 'f+{\frac {1}{2m}}(\nabla 'f)^{{2}}-{\frac {i }{2m}}\nabla '^{{2}}f$ ${\frac {\partial f}{\partial t'}}=-{\frac {mV^{2}}{2}}$ $f(q',t')=mVq'-{\frac {1}{2}}mV^{2}t'+C$ $C$

Lásd még

Schrödinger csoport

Jegyzetek

↑ Bargmann V., Ann. Math. 59:1 (1954)
↑ Kaempfer, 1967 , p. 385.

Irodalom

Kaempfer F. A kvantummechanika alapjai. — M .: Mir, 1967. — 391 p.