Hazugság algebra

A hazugság -algebra az általános algebra egy objektuma , amely egy vektortér, amelyen egy antikommutatív bilineáris művelet van definiálva (amelyet Lie zárójelnek vagy kommutátornak neveznek), amely kielégíti a Jacobi-azonosságot . Általában a Lie algebra nem asszociatív algebra. Nevét Sophus Lie ( 1842-1899 ) norvég matematikusról kapta .

A Lie-algebra természetesen megjelenik a Lie-csoportok infinitezimális tulajdonságainak vizsgálatában . A fizikában a Lie-csoportok fizikai rendszerek szimmetriacsoportjaként jelennek meg, Lie-algebráik (egységhez közeli érintővektorok) pedig infinitezimális szimmetriájú mozgásoknak tekinthetők. A hazugságcsoportokat és az algebrákat széles körben használják a kvantumfizikában.

Definíció

A Lie algebra (egyébként Lie algebra) egy bilineáris leképezéssel ellátott mező feletti vektortér $\mathfrak{L}$ $K$

{\mathfrak {L}}^{2}\ to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

kielégíti a következő két axiómát :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( Jakobi identitás ).

Más szavakkal, a Lie algebra olyan antikommutatív műveletet kap, amely kielégíti a Jacobi-azonosságot . Ezt a műveletet kommutátornak vagy fekvő zárójelnek nevezik .

Jegyzetek

Az azonosság az operátor antikommutativitását jelenti, . Valójában az azonosság az operátor bilinearitásából következik . $[x,x]=0$ $[x,y]=-[y,x]$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Ha a mező karakterisztikája , akkor fordítva is igaz: az azonosság az antikommutativitásból következik . ${\mathrm {char}}(K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Az algebra , az ideális , a hányados algebra és a homomorfizmus fogalmát a szokásos módon definiáljuk .
Néha a Lie algebra definíciójában a vektorteret egy modul helyettesíti ( egy egységgel rendelkező kommutatív gyűrű felett ).

Példák

3-dimenziós vektortér

A szokásos háromdimenziós vektortér egy Lie algebra a keresztszorzati műveletre vonatkozóan .

Lineáris Lie algebrák

A Lie algebrák mátrix kifejezést is használják .

Ha véges -dimenziós vektortér ( ) felett, akkor lineáris transzformációinak halmaza is vektortér felett . Van dimenziója , és mátrixok tereként ábrázolható . Ebben a vektortérben a szorzás (transzformációk összetétele) természetes művelete adott. Határozzuk meg a Lie zárójel működését a képlettel . Az így bevezetett Lie zárójeles tér kielégíti a Lie algebra összes axiómáját. $V$ $K$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {End}}\;V$ $K$ ${\mathrm {dim}}({\mathrm {End}}\;V)=n^{2}$ $n\szer n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {End}}\;V$

Az eredményül kapott Lie algebra és a lineáris transzformációk eredeti asszociatív algebra megkülönböztetése érdekében jelöljük . Ezt a Lie algebrát teljes lineáris Lie algebrának nevezik . Egy végtelen dimenziós V tér esetén a jelölést is használjuk . Bármely algebrát lineáris Lie algebrának nevezzük ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$

Asszociatív algebrák és Lie-algebrák

Legyen tetszőleges asszociatív algebra szorzással : → . A Lie algebra természetes szerkezete over , ha a Lie zárójelet asszociatív szorzással a következő képlettel definiáljuk: , ezt a kifejezést kommutátornak nevezzük . ${\mathfrak {A}}$ $K$ $(x,y)$ $xy$ $K$ $[x,y]=xy-yx$

Az inverz művelet, a Lie algebra szerint, létrejön néhány asszociatív algebra, amelyet univerzális burkológörgő algebrának neveznek . Az eredeti Lie algebra be van ágyazva a megszerkesztett asszociatív algebrába.

Vektormezők hazug algebra

Ha M egy sima sokaság , akkor a rajta definiált összes differenciálható vektormező tere egy végtelen dimenziós Lie algebrát alkot. A vektormezőket Lie algebrává alakító művelet több egyenértékű módon is leírható.

Az Y mező Lie deriváltjának használata az X mező irányában :

[X,Y]\egyenértékű L_{X}Y

Ha a sokaságon adott egy lokális koordinátarendszer , akkor a koordinátaábrázolásban a vektormezők kommutátora egyenlő $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i},

ahol a szokásos módon egy ismétlődő j index feletti összegzés következik, és

\partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— függvények parciális deriváltjai t j irányok mentén .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

Ha egy tetszőleges Riemann-metrikát választunk a sokaságon, ez megmutatható

[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X

, ahol a vektormezők és az X vektormező irányának kovariáns deriváltja . A fenti definíciókkal való egyenértékűség azt mutatja, hogy az eredmény valójában független a metrika megválasztásától.

X,Y

\nabla _{X}

A vektormezők egytől egyig megfelelnek a függvényalgebra levezetéseinek egy sokaságon, a levezetések kommutátora ismét egy deriváció (lásd a következő részt), és ezért egy vektormezőt definiál.

A vektormező algebra Jacobi-azonossága átírható Leibniz-szabályként a Lie deriváltra:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Hosszú balra nyíl L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Megjegyzés: A sokaság diffeomorfizmuscsoportját informálisan "Lie-csoportnak" kell tekinteni a sokaság vektormezőinek Lie algebrájához. Bár a végtelen dimenziós esetben a csoportok és a Lie algebrák közötti megfelelés nem formális, ennek ellenére sok tulajdonság könnyen általánosítható (bár néhány már nem igaz).

A K-algebrák és Lie-algebrák összes levezetésének halmaza

Az algebrai deriválás egy lineáris leképezés, amely kielégíti a szorzat származtatására vonatkozó Leibniz-szabályt. Az összes levezetés halmazaegy vektor-altér -ben. Két levezetés kommutátora ismét levezetés, így az algebra is -ben. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\ to {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operátornév {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operátornév {Vége}\;{\mathfrak {A}}$ $\operátornév {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Tetszőleges algebrák levezetése mellett figyelembe vehetjük a Lie algebra származtatásának egy sajátos esetét is . A Lie algebrákban bizonyos levezetések természetes úton keletkeznek. A kapcsolódó endomorfizmusok egy Lie-algebra formájú származékai . Az ilyen levezetéseket belsőnek , a többit külsőnek nevezzük . A leképezést a Lie algebra adjungált reprezentációjának nevezzük . $L$ $L$ $\operátornév {ad}\;x\kettőspont y\-hoz [x,y];x,y\in L$ $L\to \operatorname {Der}\;L;\;x\mapsto \operatorname {ad}\;x$

A belső levezetések az algebra faktoralgebrájával izomorf részalgebrává alakulnak a középpontja tekintetében . $\operátornév {Der} (L)$ $\operátornév {ad}\;L$ $L/Z(L)$ $L$ $Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\all y\in L\}$

Lásd még

Irodalom

Serre J.-P. Hazug algebrák és hazugságcsoportok A Wayback Machine 2007. február 20-i archív példánya
A fizika és a matematika könyvtárának forrásai archiválva 2007. július 14-én az EqWorld webhely Wayback Machine -jén - "A matematikai egyenletek világa" Archivált 2008. október 3-án a Wayback Machine -nél .
„Sofus hazugság” szeminárium. A Lie algebrák elmélete. Lie-csoportok topológiája. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Hazugságcsoportok és differenciálgeometria. — M .: IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Lie csoportok és algebrák. fejezet I-III. M.: Mir, 1976. 496 p.
Bourbaki N. Lie csoportok és algebrák. fejezet IX. M.: Mir, 1986. 174 p.
Humphries J. Bevezetés a Lie-algebrák és reprezentációik elméletébe - M. : MTsNMO, 2003.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX535297 BNF : 119444791 GND : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600