Hazugság származéka

A tenzormező vektormező irányához viszonyított deriváltja a tenzormező transzformációja során bekövetkező növekedésének fő lineáris része, amelyet a tér által generált sokaság lokális egyparaméteres difeomorfizmuscsoportja indukál. . $K$ $x$ $K$ $x$

Sophus Lie norvég matematikusról kapta a nevét .

Általában jelölik . ${\mathcal {L}}_{X}Q$

Definíciók

Axiomatikus

A Lie deriváltot teljesen meghatározzák a következő tulajdonságok. Ez a meghatározás a legkényelmesebb a gyakorlati számításokhoz, de a létezés igazolására van szükség.

A skalármező Lie deriváltja az irány deriváltja . ${\mathcal {L}}_{X}f$ $f$ $f$ $x$ ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$
Egy vektormező Lie deriváltja a vektormezők Lie zárójele . (A mező Lie deriváltja a mező irányához képest ). ${\mathcal {L}}_{X}Y$ $Y$ $Y$ $x$ ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$
Tetszőleges vektormezőkre és egy 1-es alakra a következő egyenlőség érvényes (Cartan azonossága) $\alpha$ $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X).$
( Leibniz-szabály ) Tetszőleges S és T tenzormezőkre , ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}} _{X}T).$

A patakon keresztül

Legyen egy -dimenziós sima sokaság, és legyen vektormező a -n . $M$ $n$ $x$ $M$

Tekintsük a relációk által meghatározott áramlást $\Gamma _{X}^{t}\colon M\to M$ $x$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)},\Gamma _{X} ^{0}(p)=p

Inverz leképezés differenciálra , ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t))$

{\displaystyle (d_{p}\Gamma _{X}^{t})^{-1}\colon T_{\Gamma _{X}^{t}(p)}\to T_{p))

Egyedülállóan kiterjed egy homomorfizmusra a tenzoralgebrától a tenzoralgebráig . Így egy tetszőleges tenzormező meghatározza a mezők egyparaméteres családját . A Lie derivált úgy definiálható $h_{t}$ ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}(p)))$ $T_{p}$ $K$ $Q_{t}=h_{t}(Q)$

{\mathcal {L}}_{X}Q={\frac {d}{dt}}Q_{t}|_{t=0}

Kifejezések koordinátában

{\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f,

hol van skalár. $f$

{\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{ én},

ahol egy vektor és annak összetevői. $y$ ${\displaystyle y^{i))$

{\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\ xi ^{k},

hol van az 1-es alak és annak összetevői. $\omega$ $\omega _{i}$

{\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj} +\részleges _{j}\xi ^{k}g_{ik},

hol van a metrikus tenzor és annak összetevői. $g$ $g_{ij}$

A tenzormező Lie deriváltja nem holonom keretben

Adjunk meg egy (p, q) típusú K tenzormezőt nem holonom keretben , akkor annak Lie deriváltját az X vektormező mentén a következő képlet adja meg: $\{e_{\alpha }}\}$

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_ {(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$ ,

ahol és a következő jelölés kerül bevezetésre: $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^ {\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_ {\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$ ,

${\displaystyle P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma ))$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ nem holonómia tárgya.

Tulajdonságok

${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$ -lineárisan be és be . Itt van egy tetszőleges tenzormező. $x$ $s$ $s$
A Lie derivált a tenzormezők gyűrűjének differenciálása .
A külső alakok szuperalgebráján a Lie derivált egy deriváció és egy 0 fokú homogén operátor.
Legyen és vektormezők a sokaságon, akkor van az algebrának egy levezetése , tehát van olyan vektormező , amelyre . Ezt a vektormezőt az u és v mező Lie zárójelének nevezik (a Poisson-zárójelnek vagy kommutátornak is ). $v$ $u$ $[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u }-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$ $C^{\infty }(M)$ $[v,u]$ ${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]$
Homotópia képlet ( Cartan azonosság ): ${\mathcal {L}}_{v}\omega =i_{v}d\omega +di_{v}\omega .$

Itt egy differenciális -forma a formák belső megkülönböztetésének operátora, definíciója szerint .

\omega

k

{\displaystyle i_{v))

(i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1})

Következésképpen, ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)$ . Itt egy (természetes) vektorköteg sima szakasza (például tetszőleges tenzormező), egy vektormező emelése a -n , és egy függőleges vetületi operátor a -n . ( Lásd lent ) $s$ $F$ $X^{F}$ $x$ $F$ $\mathop {vpr} _{F}$ $F$

A Lie derivált fizikai jelentése

Legyen a vektormező egy nem inerciális vonatkoztatási rendszer sebességmezeje az inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest , azaz a tér minden pontjában minden időpillanatban e rendszerek koordináta rácsainak sebessége az egyes mást határoznak meg. Ekkor a Lie derivált a vektormező mentén átviszi a nem inerciális vonatkoztatási rendszerből származó tenzormezők időderiváltáját az inerciálisra, ezzel definiálva a tenzormezők invariáns időbeli deriváltját . $V(x,t)$ $x$ $t$ $V(x,t)$ $Q(x,t)$

Általánosítások

Természetes kötegek

Legyen természetes sima köteg, azaz a sima elosztók kategóriájából a felettük lévő kötegek kategóriájába ható funktor : . Egy tetszőleges vektormező generál egy egyparaméteres difemorfizmuscsoportot, amely átnyúlik a kötegtérbe , azaz . Ennek a csoportnak a nullánál lévő deriváltja egy vektormezőt ad , amely kiterjesztése . A csoport azt is lehetővé teszi, hogy tetszőleges szakaszokra vonatkozóan meghatározzuk a Lie deriváltot ugyanazzal a képlettel, mint a klasszikus esetben: $F$ $F\colon M\mapsto (F(M),M,\pi _{M}),\;\pi _{M}\colon F(M)\to M$ $X\inTM$ $\Gamma ^{t}:M\to M$ $F$ $F(M)$ $F(\Gamma ^{t}):F(M)\ to F(M)$ $X^{F}\in TF(M)$ $x$ $F(\Gamma ^{t})$ $x$ $s:M\to F(M)$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}F(\Gamma ^{t})^ {*}s=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}(F(\Gamma ^{-t})\circ s\circ \Gamma ^{t})

{\mathcal {L}}_{X}(s)=Ts\circ XX^{F}\circ s

Megjegyezzük, hogy általános esetben a Lie derivált a megfelelő függőleges köteg eleme , vagyis a leképezés magja , mivel . Ha egy vektorköteg, akkor van kanonikus izomorfizmus . A függőleges vetületi operátor lehetővé teszi, hogy a Lie deriváltot az eredeti köteg szakaszaként ábrázoljuk: $VF(M)$ $T\pi _{M}:TF(M)\to TM$ $T\pi _{M}\circ {\mathcal {L}}_{X}(s)=0_{M}$ $F$ $vl:F(M)\times _{M}F(M)\simeq VF(M)$ ${\displaystyle vpr_{F}=\mathrm {pr} _{2}\circ vl^{-1))$

{\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ XX^{F}\circ s)

Lie deriváltja a formák tekintetében

Egy másik általánosítás a külső formák szuperalgebrájának levezetéseinek Lie -szuperalgebrájának vizsgálatán alapul . Az összes ilyen levezetés közül különösen kiemelkednek az úgynevezett algebraiak , vagyis azok, amelyek függvényeken 0-val egyenlők. Minden ilyen levezetésnek van alakja , ahol az érintő alakja , és a belső differenciálási operátort a képlet határozza meg $i_{K}$ $K\in TM\otimes \Lambda ^{*}(M)$ $i_{K}$ $(\omega \in \Lambda ^{p+1}(M))$

i_{K}\omega =\mathrm {Alt} (\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))

Itt van az összes változó megjelenítésének váltakozó művelete. A vektor értékű Lie derivált az operátorok szuperkommutátoraként definiálható : $\mathrm {Alt}$ $K$

{\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]

Jelentését az határozza meg, hogy a szuperalgebra bármely származtatása egyedi módon ábrázolható , ahol , néhány vektorértékű alak. Ezenkívül a képlet szerint megadhatja az érintőleges értékű formák Frolich-Nienhuis zárójelét . $D$ $\Lambda ^{*}(M)$ $D={\mathcal {L}}_{K}+i_{S}$ $K$ $S$ $[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{S}]={\mathcal {L}}_{[K,S]}$

Irodalom

Sh. Kobayashi, K. Nomizu. A differenciálgeometria alapjai. - 1981. - T. 1. - 344 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometria: Módszerek és alkalmazások. - 2., átdolgozott. - M. : Nauka, 1986. - T. 1. - 760 p.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Természetes műveletek a differenciálgeometriában . - 1. kiadás - Springer, 1993. - 434 p. — ISBN 978-3540562351 . Archiválva : 2017. március 30. a Wayback Machine -nál

Lásd még

Gyilkos mező

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák