Hesseni függvények

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A függvény Hess- féle szimmetrikus másodfokú alakzata [1] , amely egy függvény viselkedését írja le másodrendben.

Egy pontban kétszer differenciálható függvényre $f$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$

H(x)=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

vagy

H(z)=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}z_{i}\overline {z}_{ j}

ahol (vagy ) és a függvény -dimenziós valós téren (vagy komplex téren ) koordinátákkal (vagy ) van definiálva . A Hess-féle mindkét esetben az érintőtéren adott másodfokú alak , amely nem változik a változók lineáris transzformációja során . A Hess -t gyakran a mátrix determinánsának is nevezik, lásd alább. $a_{{ij}}=\partial ^{2}f/\partial x_{i}\partial x_{j}$ $a_{{ij}}=\partial ^{2}f/\partial z_{i}\partial \overline {z}_{j}$ $f$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $z_{1},\ldots ,z_{n}$ $(a_{ij}),$

Hess-mátrix

Ennek a másodfokú alaknak a mátrixát a függvény második parciális deriváltjai alkotják. Ha minden derivált létezik, akkor

H(f)={\begin{bmátrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2))}&{\frac {\partial ^{2}f}{ \partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\ \\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\dpontok &\vpontok \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2} f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end {bmátrix}}

Ennek a mátrixnak a determinánsát hesseni determinánsnak , vagy egyszerűen hesseni determinánsnak nevezik. .

A Hess-mátrixokat a Newton-féle optimalizálási feladatokban használják . A Hess-mátrix teljes számítása nehéz lehet, ezért kvázi-newtoni algoritmusokat fejlesztettek ki a Hess-mátrix közelítő kifejezései alapján. A leghíresebb közülük a Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno algoritmus .

A hesseni mátrix szimmetriája

Az f függvény vegyes deriváltjai a Hess-mátrix azon elemei, amelyek nincsenek a főátlón . Ha folytonosak, akkor a megkülönböztetés sorrendje nem fontos:

{\frac {\partial }{\partial x_{i))}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j))}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j))}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i))}\right)

Ezt úgy is fel lehet írni

f_{{x_{i}x_{j}}}=f_{{x_{j}x_{i}}},\quad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}.

Ebben az esetben a Hess-mátrix szimmetrikus .

Egy függvény kritikus pontjai

Ha a gradiens (vektorszármazéka ) egy ponton nulla , akkor ezt a pontot nevezzük kritikusnak . Az extrémum létezésének ezen a ponton elegendő feltétele a hesseni f (jelen esetben másodfokú alak) előjel-határozottsága , nevezetesen: $f$ $x_{0}$

ha a Hess-féle pozitív definit, akkor a függvény lokális minimumpontja , $x_{0}$ $f(x)$
ha a Hess-féle negatív definit, akkor a függvény lokális maximumpontja , $x_{0}$ $f(x)$
ha a Hess nem előjel-határozott (pozitív és negatív értékeket is vesz fel) és nem degenerált , akkor a függvény nyeregpontja . $(\det H(f)\neq 0)$ $x_{0}$ $f(x)$

Változatok és általánosítások

Vector-függvények

Ha egy vektorfüggvény , azaz $f$

f=(f_{1},f_{2},\pontok ,f_{n}),

akkor a második parciális deriváltjai nem egy mátrixot, hanem egy 3-as rangú tenzort alkotnak, amely Hess- mátrixok tömbjének tekinthető : $n$

H(f)=\left(H(f_{1}),\ldots ,H(f_{n})\right).

A -nál ez a tenzor a szokásos hesseni mátrixsá degenerálódik. $n=1$

Banded Hessian

Egy függvény feltételes szélsőértékének megszorításokkal való megtalálásának problémájának megoldása során $f:\mathbb {R} ^{n}\jobbra \mathbb {R}$

\left\{{\begin{array}{c}g_{1}(x)=0,\\\vdots \\g_{m}(x)=0,\end{array}}\right .

ahol , , egy szélsőség megfelelő feltételeinek ellenőrzéséhez használhatjuk a Lagrange-függvény úgynevezett szegélyezett Hessian- át , amelynek alakja [2] $x \in \mathbb{R}^n$ $m<n$ $L(x,\lambda )$

\left({\begin{array}{cc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x^{2))}&{\dfrac {\partial ^{2}L} {\partial x\partial \lambda }}\\\left({\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x\partial \lambda }}\right)^{\mathrm {T} }&{ \dfrac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2))}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n))} &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{1}}}\\\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{n))}\\{\dfrac {\partial g_{1)){\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial g_ {1}}{\partial x_{n}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial g_{m}}{ \partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m)){  \partial x_{n}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right).

Az elégséges szélsőfeltételek ellenőrzése abból áll, hogy kiszámítjuk a szegélyezett hesseni almátrix bizonyos részmátrixainak determinánsainak előjeleit. Mégpedig ha létezik olyan, hogy és $x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda ^{*}\in \mathbb {R} ^{m))$ $\nabla L(x^{*},\lambda ^{*})=0$

(-1)^{m}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\lpontok &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ részleges x_{1))&\lpontok &{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}\\\vpontok &\dpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \ \{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{p}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ lpontok &0\\\vpontok &\dpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}&\lpontok &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

esetén , akkor a függvénynek van egy szigorú feltételes minimuma a pontban . Ha $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $f$

(-1)^{p}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^ {2}}}&\lpontok &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{p}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\ részleges x_{1))&\lpontok &{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}\\\vpontok &\dpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \ \{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{p}\partial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\partial ^{2}L}{\partial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p ) )}\\{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial g_{1}}{\partial x_{p}}}&0& \ lpontok &0\\\vpontok &\dpontok &\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\{\dfrac {\partial g_{m)){\partial x_{1))}&\lpontok &{\ dfrac {\partial g_{m}}{\partial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{array}}\right)>0

esetén , akkor a pontban a függvénynek szigorú feltételes maximuma van [3] . $p=m+1,\ldots ,n$ $x^{*}$ $f$

Történelem

A koncepciót Ludwig Otto Hesse ( 1844 ) vezette be, aki más nevet használt. A "hessian" kifejezést James Joseph Sylvester alkotta meg .

Lásd még

Jacobi
Kritikus pont (matematika)
Morse Lemma
A Sylvester -kritérium egy négyzetmátrix pozitív vagy negatív meghatározottságának kritériuma.

Jegyzetek

↑ hesseni . Letöltve: 2016. április 2. Archiválva az eredetiből: 2016. április 15. (határozatlan)
↑ Hallam, Arne Econ 500: Kvantitatív módszerek a közgazdasági elemzésben I. Iowa állam (2004. október 7.). Letöltve: 2021. április 14. Az eredetiből archiválva : 2021. április 19. (határozatlan)
↑ Neudecker, Heinz. Mátrix-differenciálszámítás statisztikai és ökonometriai alkalmazásokkal / Heinz Neudecker, Jan R. Magnus. - New York: John Wiley & Sons , 1988. - P. 136. - ISBN 978-0-471-91516-4 .

Linkek

Kamynin L.I. Matematikai elemzés. T. 1., 2. - 2001.
Kudrjavcev L.D. „Rövid tanfolyam a matematikai elemzésből. T.2. Több változó függvényének differenciál- és integrálszámítása. Harmonikus elemzés”, FIZMATLIT, 2002, 424 p. — ISBN 5-9221-0185-4 . Vagy bármely más kiadás.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabil leképezések és szingularitásaik, - M.: Mir, 1977.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák