Numerikus differenciálás

A numerikus differenciálás olyan módszerek összessége, amelyek segítségével hozzávetőlegesen számítható egy táblázatban megadott vagy összetett analitikai kifejezéssel rendelkező függvény deriváltja .

Véges különbségek

Egy függvény deriváltját egy pontban a határérték segítségével határozzuk meg : $f$ $x$

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h)).

A határjel alatti tört számlálójában a függvény véges különbsége szerepel , a nevezőben ennek a különbségnek a lépése. Ezért a derivált közelítésének legegyszerűbb módja, ha egy függvény véges különbségeit használjuk valamilyen kellően kis lépéssel . Például a kifejezés $f$ $f$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

közelíti egy függvény deriváltját egy pontban a -val arányos értékig . Egy kifejezés használata $f$ $x$ $h$

{\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h))

lehetővé teszi a közelítési hiba csökkentését a -val arányos értékre . $h^{2}$

A véges különbségek a magasabb rendű származékokat is közelíthetik.

Interpoláció

Ha ismertek a függvény értékei néhány csomóponton , akkor lehet interpolációs polinomot szerkeszteni (például Lagrange vagy Newton alakban ) és hozzávetőlegesen beállítani $f$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N))$ $P_{N}(x)$

f^{(r)}(x)\approx P_{N}^{(r)}(x),\;0\leq r\leq N.

Az ilyen kifejezéseket numerikus differenciálási képleteknek nevezzük.

Néha a közelítő egyenlőség mellett lehetséges (például a Taylor-formula használatával ) egy maradéktagot tartalmazó pontos egyenlőséget kapni , amelyet a numerikus differenciálás hibájának neveznek: $R(x)$

f^{(r)}(x)=P_{N}^{(r)}(x)+R(x),\;0\leq r\leq N.

Az ilyen kifejezéseket numerikus differenciálási képleteknek nevezzük maradék tagokkal. Azt , hogy az érték milyen mértékben lép be a maradék tagba, a numerikus differenciálási képlet hibarendjének nevezzük. $h={\mbox{max}}\{x_{i}-x_{i-1}\,|\,i=1,\ldots ,N\}$

Az alábbiakban több képlet található a numerikus differenciáláshoz a maradék tagokkal az egyenlő távolságra lévő csomópontok állandó lépéssel rendelkező csomópontjaihoz , amelyeket a Lagrange-formulával kapunk: $({r=1})$ $({r=2})$ ${h>0}$

$r=1,\;N=1$ (két csomópont):

f'(x_{0})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}-{\frac {h}{2}}f''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{1}-f_{0}}{h}}+{\frac {h}{2}}f''(\xi ).

$r=1,\;N=2$ (három csomópont):

f'(x_{0})={\frac {-3f_{0}+4f_{1}-f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3} }f'''(\xi ),

f'(x_{1})={\frac {f_{2}-f_{0}}{2h}}-{\frac {h^{2}}{6}}f'''( \xi ),

f'(x_{2})={\frac {f_{0}-4f_{1}+3f_{2}}{2h}}+{\frac {h^{2}}{3}} f'''(\xi ).

$r=2,\;N=2$ (három csomópont):

f''(x_{0})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-hf'''(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}+hf'''(\xi ).

$r=2,\;N=3$ (négy csomópont):

f''(x_{0})={\frac {2f_{0}-5f_{1}+4f_{2}-f_{3}}{h^{2}}}+{\frac { 11 óra^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{1})={\frac {f_{0}-2f_{1}+f_{2}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{2})={\frac {f_{1}-2f_{2}+f_{3}}{h^{2}}}-{\frac {h^{2} }{12}}f^{(4)}(\xi ),

f''(x_{3})={\frac {-f_{0}+4f_{1}-5f_{2}+2f_{3}}{h^{2}}}+{\frac {11ó^{2}}{12}}f^{(4)}(\xi ).

Itt , , és egy közbenső pont a legnagyobb és a legkisebb csomópont között. $f_{i}=f(x_{i})$ $i=0,\ldots ,N$ $\xi$

Általános esetben a numerikus differenciálási képletek együtthatói kiszámíthatók egy tetszőleges csomópontrácsra és a derivált tetszőleges sorrendjére.

Végzetes hiba

Az állandó lépésű numerikus differenciálás képleteiben a függvény értékeit elosztjuk -vel , ahol a számított derivált sorrendje. Ezért a függvény értékeinek kicsiny, eltávolíthatatlan hibái erősen befolyásolják a numerikus differenciálás eredményét. Felmerül tehát az optimális lépés megválasztásának problémája , mivel magának a módszernek a hibája nullára hajlik a -nál , és a végzetes hiba növekszik. Ennek eredményeként a numerikus differenciálás során fellépő teljes hiba korlátlanul növekedhet -nél . Ezért a numerikus differenciálás problémája rosszul feltettnek tekinthető . $h$ $f$ $h^{r}$ $r$ $h$ $f$ $h$ $h\to {0}$ $h\to {0}$

Komplex számok

A véges különbségekkel végzett klasszikus közelítések elkerülhetetlen hibát tartalmaznak, és nem kondicionáltak . Ha azonban egy függvény holomorf , valós értékeket vesz fel a valós egyenesen, és a komplex sík bármely valós pontjának bármely szomszédságában kiértékelhető , akkor a deriváltja stabil módszerekkel kiszámítható . Például az első derivált kiszámítható az alábbi képlettel egy összetett lépéssel [1] : $f$

f'(x)={\frac {{\mbox{Im}}(f(x+ih))}{h}}+O\left(h^{2}\right),

hol van a képzeletbeli egység . Ez a képlet a Taylor sorozat következő bővítéséből nyerhető : $én$

f(x+ih)=f(x)+ihf'(x)-h^{2}{\frac {f''(x)}{2!)}}-ih^{3}{ \ frac {f'''(x)}{3!}}+\lpont .

Általában a tetszőleges sorrendű származékok kiszámíthatók a Cauchy-integrál képletével :

f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i))\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(za)^{ n+1}}}\,\mathrm {d} z.

Az integrál megközelítőleg kiszámítható .

Irodalom

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numerikus módszerek. - 3. kiadás, add. és átdolgozták. — M. : BINOM. Tudáslaboratórium, 2004. - 636 p., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Számítási módszerek. I. kötet - 2. kiadás, sztereotip - M .: Fizmatgiz . 1962.
Mysovskikh I.P. Előadások a számítási módszerekről. – M.: Tudomány. 1982. - 342 p.

Jegyzetek

↑ Komplex lépcsős differenciálás

Lásd még

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák