Lagrange interpolációs polinom

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Lagrange-interpolációs polinom egy minimális fokú polinom, amely adott ponthalmazban adott értékeket vesz fel, vagyis megoldja az interpolációs feladatot .

Definíció

Adjunk meg egy olyan számpárt, ahol mindegyik különbözik. Legfeljebb fokszámú polinomot kell megszerkeszteni , amelyre . $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $L(x)$ $n$ ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j))$

Általános eset

J. L. Lagrange a következő módszert javasolta az ilyen polinomok kiszámítására:

L(x)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),

ahol az alappolinomokat a képlet határozza meg $l_{i}$

l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} }={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i- 1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i }-x_{n}}}

Bármely polinomnak van foka és $i=0,\ldots ,n$ $l_{i}$ $n$

l_{i}(x_{j})=\left\{{\begin{array}{rl}0,&j\neq i,\\1,&j=i.\end{array}}\right .

Ez azt jelenti, hogy ami polinomok lineáris kombinációja , legfeljebb és foka van . $L(x)$ $l_{i}(x)$ $n$ $L(x_{i})=y_{i}$

Az egyenlő távolságra lévő interpolációs csomópontok esete

Legyenek az interpolációs csomópontok egyenlő távolságra, azaz a kiindulási pontban és valamilyen rögzített pozitív értékben fejezzük ki őket a következőképpen: $x_{j}$ $x_{0}$ $h$

x_{j}=x_{0}+jh.

Ebből következik tehát

x_{j}-x_{i}=(ji)h.

Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az alappolinom képletébe, és kivesszük a szorzat előjeleit a számlálóból és a nevezőből, azt kapjuk $h$

l_{j}(x)={\prod _{i=0,\,i\neq j}^{n}{(x-x_{i}) \over (x_{j}-x_{ i})}}={\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(x-x_{0}-ih) \over h^{n}\prod \limits _ {i=0,\,i\neq j}^{n}(ji)}

Most bevezethetjük a változó változását

y={{x-x_{0}} \over h}

és kapunk egy kifejezést az alapvető polinomokhoz a következőben : $y$

l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{nj}C_{n}^{j}{\dfrac {y(y-1) \ldots (yn)}{(yi)n!}}.

Ezeket a mennyiségeket Lagrange-együtthatóknak nevezzük. Nem függenek attól, és ezért előre kiszámíthatók és táblázatokba írhatók. Ennek a megközelítésnek a hátránya a számláló és a nevező faktorális összetettsége, amely hosszú aritmetika használatát igényli . $y_{0},\ldots ,y_{n}$ $h$

Maradék

Ha a számokat valamely függvény értékének tekintjük a csomópontokban , akkor a függvény polinom általi interpolációjának hibája egyenlő $y_{0},\ldots ,y_{n}$ $f$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$ $f$ $L$

f(x)-L(x)={\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n}),

ahol van valami felezőpont a legkisebb és a legnagyobb szám között . Feltételezve , lehet írni $\xi$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$ $M_{n+1}=\sup _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|$

|f(x)-L(x)|\leqslant {\dfrac {M_{n+1}}{(n+1)!}}|(x-x_{0})\ldots (x- x_{n})|.

Egyediség

Van egyetlen olyan polinom, amelynek fokszáma nem haladja meg a megadott értékeket egy adott pontban. $n$ $n+1$

Bizonyíték

Tételezzük fel, hogy legfeljebb két különböző fokszámú polinom létezik , amelyre igaz, hogy olyan számpárokra, ahol mindegyik különbözik, tekintsük a polinomot . Ha behelyettesítjük ( ), azt kapjuk, hogy . Így a polinomnak vannak gyökerei, és ezek mind különbözőek. Ezért , mivel egy nem nulla fokos polinomnak legfeljebb gyöke van. Ezért ,. ■ ■ $P(x)$ $Q(x)$ $n$ $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $P(x_{j})=Q(x_{j})=y_{j}.$ $L(x)=P(x)-Q(x)$ $x_{j}$ $0\leq j\leq n$ $L(x_{j})=P(x_{j})-Q(x_{j})=y_{j}-y_{j}=0$ $L(x)$ $n+1$ $L(x)\equiv 0$ $n$ $n$ $P(x)=Q(x)$

Ez az állítás annak a ténynek az általánosítása, hogy bármely két ponton csak egy egyenes van.

Lineáris algebra szemszögéből

Az interpolációs polinom egyedisége az SLAE szemszögéből is vizsgálható . Tekintsünk egy egyenletrendszert . Kifejezetten így van megírva ${\displaystyle P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},\dots ,P(x_{n})=y_{n))$

{\begin{cases}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+\pontok +a_{n}x_{0}^{n }=y_{0},\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+\pontok +a_{n}x_{1}^{n }=y_{1},\\\pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok \pontok ,\\a_{0}+a_{1}x_{n}+ a_{2}x_{n}^{2}+\pontok +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\\\end{cases}}

Átírható egyenletrendszerként ismeretlen vektorral : $Xa=y$ $a=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})$

{\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\pontok &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\pontok &x_ {1}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\ \y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmátrix}}

A mátrix egy ilyen rendszerben a Vandermonde-mátrix , determinánsa pedig . Ennek megfelelően, ha minden pont különbözik, akkor a mátrix nem degenerált, és a rendszernek egyedi megoldása van. $x$ $\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n))$

A kínai maradéktétel szempontjából

Bezout tétele szerint a -vel való osztás maradéka . Így az egész rendszer az összehasonlítások rendszereként fogható fel: $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

{\begin{cases}P(x)\equiv y_{0}{\pmod {x-x_{0}}},\\P(x)\equiv y_{1}{\pmod {x- x_{1}}},\\\pontok ,\\P(x)\equiv y_{n}{\pmod {x-x_{n}}},\\\end{cases}}

A kínai maradéktétel szerint egy ilyen rendszernek egyedi megoldása modulo , vagyis egy adott rendszer legfeljebb egy fokszámú polinomot határoz meg egyedileg . A polinom ilyen reprezentációja a monomok moduljai feletti maradékhalmazok formájában hasonló egy számnak a maradékosztályok rendszerében az egyszerű modulokra való felosztásból származó maradékok formájában történő megjelenítéséhez . Ebben az esetben a Lagrange-polinom explicit képlete is előállítható a kínai tétel képleteinek megfelelően : , ahol és . ${\megjelenítési stílus (x-x_{0})(x-x_{1})\pontok (x-x_{n})}$ $n$ ${\textstyle P(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1))$ $M_{i}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})$ $M_{i}^{-1}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})^{-1}{\pmod {x-x_{i))}= \prod \limits _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}$

Példa

Keressük meg az interpolációs képletet a következő értékekhez: $f(x)=\mathop {\mathrm {tg} } \nolimits (x)$

{\begin{aligned}x_{0}&=-1,5&&&&&f(x_{0})&=-14.1014\\x_{1}&=-0,75&&&&&f(x_{1})&=- 0,931596\ \x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0,75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\\x_{4}&= 1,5&&&&&f(x_{4) })&=14,1014.\end{igazított}}

l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243} x(2x-3)(4x-3)(4x+3)

l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}={}-{8 \ több mint 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1} }\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={3 \over 243} (2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)

l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243 }x(2x-3)(2x+3)(4x+3)

l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243} x(2x+3)(4x-3)(4x+3).

Kap

{\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\ \&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})( 2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3) )\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4,834848x^{3 }- 1,477474x.\end{igazított}}

Alkalmazások

Numerikus integráció

Legyen bizonyos pontokon ismert a függvény értéke . Ezután ezt a függvényt a Lagrange metódussal interpolálhatjuk: $f(x)$ $y_{i}=f(x_{i})$

f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).

Az eredményül kapott kifejezés felhasználható a függvény határozott integráljának kiszámításához : $f$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{{i=0}}^{n}f(x_{i})\int \limits _{a}^{ b}l_{i}(x)dx

Az integrálok értékei nem függnek attól, és a sorozat segítségével előre kiszámíthatók . $l_{i}$ $f(x)$ $x_{j}$

Irodalom

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Számítási módszerek. I. kötet - 2. kiadás, sztereotip - M .: Fizmatlit . 1962.

Linkek

M. A. Tynkevich. fejezet 7.6.1. Lagrange interpolációs polinom // Numerical Methods of Analysis . - Kemerovo, 2002. - ISBN 5-89070-042-1 . (nem elérhető link)
A. G. Khovansky. Lagrange polinomok és alkalmazásaik . Videó előadás. VI Nyári Iskola "Modern Matematika ", Dubna, 2006.