Newton interpolációs képletei

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. szeptember 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A Newton-féle interpolációs képletek polinomiális interpolációhoz használt számítási matematikai képletek .

Képletek

Adott néhány páronként elkülönülő pont , más néven interpolációs csomópont, és ezekben a pontokban bizonyos függvények értékei ismertek. ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n))$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots ,\,f(x_{n})$ $f$

Az egyenlőtlen csomópontok esete

Ha a szomszédos csomópontok közötti távolságok különbözőek, akkor a Newton-polinom az [1] képlet szerint épül fel.

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x) -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots ;x_{n}),

hol van az osztott sorrend különbség . $f(x_{0};\ldots ;x_{n})$ $n$

Az osztott különbség tulajdonságait felhasználva kimutatható, hogy a fenti polinom valóban megoldja az interpolációs feladatot : [2]

Legyen a pontok Lagrange interpolációs polinomja . Akkor . $L_{k}(x)$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Fontolja meg : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\sum _{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod _{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\sum _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} }{x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

Másrészt két Lagrange-interpolációs polinom különbsége fokú polinom , és gyökei ismertek - . $k-1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

Bezout tétele szerint a következőt kapjuk: . $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Találjuk : hagyjuk $a$ ${\displaystyle x=x_{k))$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

Miután az eredményt behelyettesítettük -be, azt kapjuk . $L_n(x)$ $P_n(x)$

Így látható, hogy a Newton-polinom az egyenlőtlen távolságú csomópontok esetén egybeesik a Lagrange-interpolációs polinommal, és így megoldja az interpolációs problémát.

Az egyenlő távolságú csomópontok esete

Ha a szomszédos csomópontok valamilyen fix távolságra vannak egymástól , azaz , akkor a Newton-polinom vagy innen indulva (jelen esetben "előre interpolációról" beszélnek), vagy innen ("vissza interpoláció") építhető. $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots ,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

Az első esetben a Newton-polinom képlete a következőt veszi fel: [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\lpontok +{\frac {q(q-1)\lpontok (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

ahol , és a forma kifejezései véges különbségek . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

A második esetben a képlet a következőt veszi fel: [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\lpontok +{\frac {q(q+1)\lpontok (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

ahol . $q=(x-x_{n})/h$

A képlethez $h=1$

P_{n}(x)=\sum _{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\sum _{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

ahol a valós számok tartományára általánosított binomiális együtthatók . $C_{x}^{m}$

Maradék

A Newton-polinom a Lagrange-polinom egyik alakja , így ezeknek a képleteknek a maradék tagjai megegyeznek [5] . A Newton-képlet fennmaradó tagja azonban más formában is felírható: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$