Binomiális együttható

A binomiális együttható a Newton-binomiális hatványaiban szereplő tag előtti együttható . Az at együtthatót vagy jelöli , és a következőt jelenti: „binomiális együttható a következőtől ” (vagy „ kombinációk száma a következőtől ”): $(1+x)^{n}$ $x$ $x^{k}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\textstyle C_n^k$ $n$ $k$ $n$ $k$

(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2} +\lpontok +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}

a természetes erőkért . $n$

Binomiális együtthatók tetszőleges valós kitevőkre is definiálhatók . Tetszőleges valós szám esetén a binomiális együtthatók egy kifejezés végtelen hatványsorba való kiterjesztésének együtthatói : $n$ $n$ $(1+x)^{n}$

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k))x^{k))

ahol a nem negatív egész számok esetén az at összes együtthatója eltűnik, és ezért ez a bővítés véges összeg. $n$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $k>n$

A kombinatorikában a nem negatív egész számok binomiális együtthatója és a by kombinációinak számaként értelmezhető , azaz az összes (nem szigorú) részhalmaz ( minta ) száma egy -elem halmazban . $\textstyle {\binom {n}{k))$ $n$ $k$ $n$ $k$ $k$ $n$

A binomiális együtthatók gyakran felmerülnek a kombinatorika és a valószínűségszámítás problémáiban . A binomiális együtthatók általánosítása a multinomiális együtthatók .

Explicit képletek

A hatványsor-kiterjesztés együtthatóinak kiszámításával explicit képleteket kaphatunk a binomiális együtthatókra . $(1+x)^{n}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$

Minden valós számra és egész számra : $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{ k!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

ahol a faktoriálist jelöli . $k!$ $k$

A nem negatív egész számokra és a képletek is érvényesek: $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(nk)!}}),&0\leqslant k\leqslant n\\0,&k > n\end{cases}}

Egész számú negatív kitevő esetén a binomiális kiterjesztési együtthatók a következők: ${\megjelenítési stílus (1+x)^{-n}}$

{\binom {-n}{k}}={\begin{cases}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n- 1)!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

Pascal-háromszög

Identitás:

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

lehetővé teszi a nem negatív egész számok binomiális együtthatóinak rendezését Pascal - háromszög formájában, amelyben minden szám egyenlő két nagyobb összeg összegével: $n$ $k$

{\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&&3&&1&\\n=4:&&&&&&&1&&4&&6&v&s &&\v&\\&v&s \vdots &&\vdots &\end{mátrix}}

A Pascal által az aritmetikai háromszögről szóló traktátusában (1654) javasolt háromszögtábla 45°-os elforgatással különbözik az itt leírtaktól. A binomiális együtthatók megjelenítésére szolgáló táblázatok korábban is ismertek voltak ( Tartaglia , Omar Khayyam ).

Ha a Pascal-háromszög minden sorában az összes számot elosztjuk -val (ez a sorban lévő összes szám összege ), akkor az összes egyenes, ahogy a végtelenbe megy, normál eloszlási függvény alakját veszi fel . $2^{n}$ $n$

Tulajdonságok

Függvények generálása

Fix érték esetén a binomiális együtthatók sorozatának generáló függvénye : $n$ ${\tbinom {n}{0)),\;{\tbinom {n}{1)),\;{\tbinom {n}{2)),\dots$

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}

Rögzített érték esetén az együttható sorozat generáló függvénye : $k$ ${\tbinom {0}{k)),\;{\tbinom {1}{k)),\;{\tbinom {2}{k)),\dots$

\sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}

Az egész számok binomiális együtthatóinak kétdimenziós generáló függvénye : $\tbinom{n}{k}$ $n,k$

\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}

, vagy .

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={ \frac {1}{1-y-xy}}

Oszthatóság

A Lukács-tételből az következik, hogy:

az együttható páratlan a szám bináris jelölésében , az egységek nem állnak azokban a számjegyekben, ahol nullák vannak a számban; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\iff$ $k$ $n$
az együttható nem egy prímszám többszöröse a szám ináris reprezentációjában , az összes bit nem haladja meg a szám megfelelő bitjeit ; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $p$ $\iff$ $p$ $k$ $n$
binomiális együtthatók sorozatában : $\textstyle {\binom {n}{0)),\;{\binom {n}{1)),\;\ldots ,\;{\binom {n}{n))$
- minden szám nem többszöröse egy adott prímszámnak , így ábrázolható , ahol természetes szám ; $p$ $\iff$ $n$ $mp^{k}-1$ $m<p$
- az első és az utolsó kivételével minden szám az adott prím többszöröse ; $p$ $\iff$ $n=p^{k}$
- a páratlan számok száma egyenlő kettő hatványával, amelynek kitevője egyenlő a szám bináris jelölésében szereplő egységek számával ; $n$
- a páros és a páratlan számok nem lehetnek egyenlőek;
- azoknak a számoknak a száma, amelyek nem többszörösei egy prímszámnak , egyenlő -val , ahol a számok a szám -ary jelölésének számjegyei ; a szám pedig, ahol a nemi függvény , az adott rekord hossza. $p$ $(a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,a_{m))$ $p$ $n$ $\textstyle m=\lfloor \log _{p}{n}\rfloor +1$ $\lfloor\cdot\rfloor$

Alapvető identitások

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ .
${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}$ .
${n \choose k}={n \choose nk}$ (szimmetriaszabály).
${n \choose k}={\frac {n}{k}}{n-1 \choose k-1}$ (zárójelezés).
${n \choose {\color {Green}m}}{{\color {Green}m} \choose n-{\color {Green}k}}={n \choose {\color {Green}k }}{{\color {Green}k} \choose n-{\color {Green}m}}$ (indexek cseréje).
${\displaystyle (nk){n \choose k}=n{n-1 \choose k))$ .

Newton-binomiális és következményei

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose n}=2^{n))$ , hol . $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{cases}{\ binom {n}{m/2)),&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2)),\\0,&{\text{if}}\ m\equiv 1{ \pmod {2}}.\end{cases}}$
$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$ .
${n \choose 0}-{n \choose 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}=0$ , hol . $n\in \mathbb {N}$
Erősebb identitás: , ahol . ${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 2}+\ldots +{n \choose 2\lfloor n/2\rfloor }=2^{n-1))$ $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{{k=-a}}^{{a}}(-1)^{{k}}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{ (a!)^{3}}}$ ,

hanem általánosabban

\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}

Vandermonde konvolúciója és következményei

Vandermonde konvolúciója :

{\displaystyle \sum _{k}{r \choose m+k}{s \choose nk}={r+s \choose m+n))

ahol egy . Ezt az azonosságot úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk az at együtthatót a bővítésben , figyelembe véve az azonosságot . Az összeget átveszi minden olyan egész szám , amelyre . Tetszőleges valós számok esetén az összegben szereplő nem nulla tagok száma véges. $m,n\in \mathbb {Z} ,$ $r,s\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle x^{m+n))$ ${\megjelenítési stílus (1+x)^{r}(1+x)^{s))$ ${\displaystyle (1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s))$ $k$ $\textstyle {r \choose m+k}{s \choose nk}\neq 0$ $r$ $s$

A Vandermonde konvolúció következménye:

{n \choose 0}{a \choose a}-{n \choose 1}{a+1 \choose a}+\ldots +(-1)^{n}{n \choose n}{a+n \ válassz a}=(-1)^{n}{a \choose n}

Általánosabb identitás:

\sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p \choose i}\prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_ {m} \válasszon s_{m}}=0

ha .

\sum _{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p

A konvolúció másik következménye a következő azonosság: . ${\displaystyle {n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+\ldots +{n \choose n}^{2}={2n \choose n))$

Egyéb identitások

${\frac {4}{n}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}{\binom {2n}{n+k}}=2^{2n}$ , ahol egy természetes szám. $n$
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{n \choose k}=\sum _{k=1}^ {n}{\frac {1}{k}}=H_{n}$ -adik harmonikus szám . $n$
A sorozat multiszekciója olyan azonosságot ad, amely a binomiális együtthatók összegét egy tetszőleges lépéssel és az eltolást a tagok véges összegeként fejezi ki : $(1+x)^{n}$ $s$ $t$ $(0\leqslant t<s)$ $s$

{\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{ s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}

Vannak egyenlőségek is:

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{3}}&={\frac {n(n-1)(n-2)}{\color {Green}2}}- \sum _{i=2}^{n-1}{(ni)(n-i+1)}=\\&=n(n-1)(n-2)-\sum _{i=2 }^{n-1}{(ni)({\color {Green}2}n-i+1)}=\\&=3{\binom {n}{3}}-2{\binom {n }{3}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{4}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color {Zöld }2}}-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2} i_{0}\right)}=\\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left ({\color {Green}2}n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}=\\&=24{\binom {n}{4}}-23{\binom {n}{4}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{5}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} {\color {Green}2}}-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)(n-2)-\sum _ {i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}\right)}=\\&=n(n-1 )(n-2)(n-3)(n-4)-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left({\color {Zöld}2} n(n-1)(n-2)-\sum _{i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1 }\right)}=\\&=120{\binom {n}{5}}-119{\binom {n}{5}}.\end{alignedat}}

Honnan származik:

{\binom {n}{3}}={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)(2n-i+1))){2} }={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{1}-{\binom {i-1}{1)) \jobbra)}}{2}};

{\binom {n}{4}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(2n(n-1)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}}{23}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1 }{(ni)\left(2A_{n}^{2}-{\binom {i-1}{2}}\right)}}{23}};

{\begin{alignedat}{2}&{\binom {n}{5}}={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left (2n(n-1)(n-2)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-3}\sum \limits _{i_{1}=1}^{i_{0 }}i_{1}\right)}}{119}}=\\&={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n }^{3}-{\binom {i-1}{3}}\right)}}{119}};\\\end{alignedat}}

{\binom {n}{k}}={\frac {\sum \limits _{i=k-1}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{k -2}-{\binom {i-1}{k-2}}\jobbra)}}{k!-1}}

hol van az elhelyezések száma től ig . $A_{n}^{k}$ $n$ $k$

Mátrix relációk

Ha veszünk egy négyzetes mátrixot, megszámolva a Pascal-háromszög szárai mentén lévő elemeket, és a mátrixot a négy sarok bármelyikével elforgatva, akkor ennek a négy mátrixnak a determinánsa bármelyik esetén ±1 , a mátrix determinánsa pedig a csúcsával a bal felső sarokban lévő háromszög 1. $N$ $N$

A mátrixban az átlón lévő számok megismétlik a Pascal-háromszög ( ) sorainak számát. Két szigorúan átlós mátrix szorzatára bontható: az alsó háromszögű és az abból transzponálással kapott mátrix szorzatára: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $i+j=\mathrm {Const}$ ${\megjelenítési stílus i,j=0,1,\pontok }$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T}

ahol . A k inverz mátrix alakja: $U={\begin{bmátrix}{\tbinom {i}{j}}\end{bmátrix}}$ $U$

U^{-1}={\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatrix}}

Így lehetséges a k inverz mátrix két szigorúan átlós mátrix szorzatára bontani: az első mátrix felső háromszög alakú, a második pedig az elsőből transzponálással kerül elő, ami lehetővé teszi, hogy kifejezett kifejezést adjunk a inverz elemek: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{m+n}}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}

, ahol , , , .

én

j

m

n=0\dots p

Egy inverz mátrix elemei a méretének változásával változnak, és a mátrixtól eltérően nem elég új sort és oszlopot hozzárendelni. A mátrix oszlopa egy fokszámú polinom az argumentumban , ezért az első p oszlopok teljes bázist alkotnak a +1 hosszúságú vektorok terében, amelyek koordinátái azonos vagy kisebb fokú polinomokkal interpolálhatók . A mátrix alsó sora ortogonális bármely ilyen vektorra. ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ $én$ $p$ $p-1$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{{p+n} }{\binom {p}{n}}

\sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {p}{n}}{P}_{{a}}(n) =0

mert , ahol egy fokú polinom .

a<p

{Pán)

a

Ha egy tetszőleges hosszúságú vektor interpolálható fokú polinommal , akkor a mátrix soraival (0-tól számozott) pontszorzat nulla. A fenti azonosságot és a mátrix alsó sorának és a mátrix utolsó oszlopának pontszorzatának egységét felhasználva a következőt kapjuk: $p+1$ $i<p$ $i+1,i+2,\pontok ,p$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!

Nagyobb kitevő esetén beállíthatja a rekurzív képletet: $p$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P} _{2a}(p)={f}_{a}(p)

hol van a polinom

{P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad { P}_{0}(p)=1

Ennek bizonyításához először azonosítunk egy személyazonosságot:

{f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{ax}(p )

Ha nem minden kitevőre szeretne képletet találni, akkor:

{P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1 }(p);\quad a>0

A legmagasabb együttható 1, a többi együttható megtalálásához a-1 értékekre lesz szükség: ${Q}_{{a-1}}(p)$

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p)

számára .

a\equiv 1{\pmod {2));a\geqslant 3

Aszimptotika és becslések

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}$ .
$\sum _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^ {{n-3}}$ at ( Csebisev egyenlőtlensége ). $m<{\frac {n}{2))$
$\sum \limits _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{{nH({\frac {m}{n}})))}$ , at ( entrópiabecslés ) , ahol entrópia . $m\leq {\frac {n}{2}}$ $H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)$
$\sum _{{k=0}}^{{n/2-\lambda }}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{{-2\lambda ^{2} /n}}$ ( Csernov egyenlőtlensége ).

Stirling képletéből egyenesen következik , hogy for igaz . $\alpha \in(0;1)$ $C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n))))\left({{\frac {1 }{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n} }=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )))}}+o(1)}\jobbra) ^{{n}}$

Egész polinomok

A , ... binomiális együtthatók egész polinomjai , azaz egész értékeket vesznek fel a , egész értékére - ez könnyen megérthető például a Pascal-háromszögből. Ezenkívül egész értékű polinomok alapját képezik, amelyekben minden egész értékű polinom lineáris kombinációként van kifejezve egész együtthatókkal. [egy] ${\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}} {2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$ $x$

Ugyanakkor a standard bázis , … nem teszi lehetővé az összes egész polinom kifejezését, ha csak egész együtthatókat használunk, mivel már rendelkezik tört együtthatókkal a hatványokon . ${\megjelenítési stílus 1,x,x^{2))$ ${\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $x$

Ez az eredmény sok változóban általánosít polinomokra. Nevezetesen, ha egy fokszámú polinom valós együtthatókkal rendelkezik, és a változók egész értékére egész értékeket vesz fel, akkor $R(x_1, \pontok, x_m)$ $k$

R(x_{1},\dots ,x_{m})=P\left({\binom {x_{1}}{1}},\dots ,{\binom {x_{1}}{ k)),\dots ,{\binom {x_{m}}{1)),\dots ,{\binom {x_{m}}{k}}\right)

ahol egy egész együtthatós polinom. [2] $P$

Számítási algoritmusok

A binomiális együtthatók kiszámíthatók a rekurzív képlettel , ha az értékeket minden lépésben tároljuk . Ez az algoritmus különösen akkor hatékony, ha meg kell szereznie egy rögzített érték összes értékét . Az algoritmus memóriát igényel ( a teljes binomiális együtthatók táblázatának kiszámításakor) és időt (feltételezve, hogy minden szám egy memóriaegységet foglal el, és a számokkal végzett műveletek időegységenként kerülnek végrehajtásra), ahol — « » nagy . ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$ $n$ $\tbinom{n}{k}$ $k={\overline {0,1,\;\ldots ,n))$ $\tbinom{n}{k}$ $n$ $Tovább)$ $O(n^{2})$ $O(n^{2})$ $O$ $o$

Fix érték esetén a binomiális együtthatók egy rekurzív képlettel számíthatók ki , amelynek kezdeti értéke . Ez a módszer memóriát és időt igényel az érték kiszámításához . $k$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{nk}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}$ ${\tbinom {k}{k}}=1$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $Tovább)$

Ha egy fix értékhez szeretné kiszámítani az együtthatókat , használhatja a kezdeti feltétel képletét . Minden iterációs lépésben a számlálót csökkentjük (kezdeti értékkel ), a nevezőt pedig ennek megfelelően növeljük (kezdeti értékkel ). Ez a módszer memóriát és időt igényel az érték kiszámításához . $\tbinom{n}{k}$ $n$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}$ ${\tbinom {n}{0}}=1$ $egy$ $n$ $egy$ $egy$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $Rendben)$

Jegyzetek

↑ Prasolov V. V. 12. fejezet Egész értékű polinomok // Polinomok . — M. : MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
↑ Yu. Matiyasevics. Hilbert tizedik problémája. - Tudomány, 1993.

Irodalom

Binomiális együtthatók // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Fuks D., Fuks M. Binomiális együtthatók aritmetikája // Kvant . - 1970. - 6. sz . - S. 17-25 .
Kuzmin OV Pascal háromszöge és piramisa: tulajdonságok és általánosítások // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , 5. sz . - S. 101-109 .
Lando S. K. Árnyékszámítás // VIII. Nyári Iskola „Modern matematika”. – Dubna, 2008.
Vinberg E. B. A binomiális együtthatók meglepő aritmetikai tulajdonságai // Matematikai oktatás . - 2008. - Kiadás. 12 . – 33–42 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkrét matematika. A számítástechnika matematikai alapjai = Concrete Mathematics. Számítástechnikai Alapítvány. - 2. — M .: Mir ; Binomiális. Tudáslaboratórium ; "Williams" , 1998-2009. - 703, 784 p. — ISBN 95-94774-560-7 , 78-5-8459-1588-7.