Multinomiális együttható

Multinomiális ( polinomiális ) együtthatók - bővítési együtthatók monomokban kifejezve : $(x_{1}+x_{2}+\pontok +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\pontok x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\pontok +x_{m})^{n}=\összeg _{{k_{1}+k_{2}+\pontok +k_{m}=n}} {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\dots x_{m}^{{k_{m}}}.

Explicit formula

A multinomiális együttható értéke minden n nem negatív egész számra meg van határozva, és így : $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\pontok ,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\pontok +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.

A binomiális együttható n , k nem negatív egész számokra a multinomiális együttható speciális esete ( m = 2 esetén), nevezetesen $\textstyle {\binom {n}{k))$

{n \choose k}={n \choose k,\nk}.

Tulajdonságok

Kombinatorikus értelemben a multinomiális együttható megegyezik egy n - elemű rendezett partíciók számával, amelyek m kardinalitási részhalmazba vannak beállítva . $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\pontok ,k_{m}$

$\sum _{{k_{1}+k_{2}+\pontok +k_{m}=n}}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m} }=m^{n}.$

Stirling fix képlete magában foglalja az aszimptotikus képletet $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\pontok +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{ 1}}^{\alpha _{1}}\pontok {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\jobbra)^{n}$

Lásd még

Multinomiális eloszlás