Multinomiális eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. április 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A multinomiális (polinomiális) eloszlás a valószínűség-elméletben a binomiális eloszlás általánosítása egy véletlenszerű kísérlet n>1 független kísérletére, ahol k>2 lehetséges kimenetel van.

Definíció

Legyenek független azonos eloszlású valószínűségi változók úgy, hogy eloszlásukat a [1] valószínűségi függvény adja meg : $X_{1},\lpontok ,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k

Intuitív módon az esemény azt jelenti, hogy a számmal végzett tárgyalás vezetett az eredményhez . Legyen a valószínűségi változó egyenlő az eredményhez vezető kísérletek számával : ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ $én$ $j$ ${\displaystyle Y_{j))$ $j$

Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k

Ekkor a vektoreloszlásnak van egy valószínűségi függvénye ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \ limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{mátrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))

ahol

{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

a multinomiális együttható .

Átlagvektor és kovariancia mátrix

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása a következő formájú : [1] : . A kovarianciamátrix diagonális elemei binomiális valószínűségi változók varianciái , ezért ${\displaystyle Y_{j))$ ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k

A többi elemre vonatkozóan

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

A multinomiális eloszlás kovarianciamátrixának rangja : . $k-1$

Jegyzetek

↑ 1 2 Groot, 1974 , p. 55-56.

Irodalom

M. de Groot Optimális statisztikai döntések = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4263656-5

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó