Geometriai eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2014. május 30-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 53 szerkesztést igényelnek .

A geometriai eloszlás a valószínűségszámításban egy diszkrét valószínűségi változó két eloszlásának egyikét jelenti :

egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amely megegyezik az első "siker" számával a Bernoulli-próbák sorozatában, és értékeket vesz fel ; $x$ $n=1,2,3,...$
egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása, amely megegyezik az első "siker" előtti "kudarcok" számával és az értékek felvételével . $Y=X-1$ $n=0,1,2,...$

Definíció

Egy valószínűségi változó geometriai eloszlású paraméterrel rendelkezik , és akkor íródik le, ha valószínűségi értékeket vesz fel . Az ilyen eloszlású valószínűségi változó a Bernoulli-sémában az első sikeres próba számát jelenti a siker valószínűségével . $x$ $p\in(0,1)$ $\mathrm {Geom} _{1}(p)$ $n=1,2,3,...$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $p$

Legyen független valószínűségi változók végtelen sorozata Bernoulli eloszlással , azaz. $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{mátrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{mátrix}}\right.,\;i=1,2,\ ldots

. Építsünk egy valószínűségi változót - az első "siker" előtti "kudarcok" számát. Egy valószínűségi változó eloszlását geometriainak nevezzük a "siker" valószínűségével , amelyet a következőképpen jelölünk: . Egy valószínűségi változó valószínűségi függvényének alakja: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

p

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n=0,1,2,\lpont

Megjegyzés

Néha a definíció szerint ez az első „siker” száma. Ekkor a valószínűségi függvény olyan alakot ölt, ahol . A jobb oldali táblázat mindkét lehetőség képleteit mutatja. $x$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
A valószínűségi függvény egy geometriai progresszió , innen származik az eloszlás neve.

Pillanatok

Hagyjuk és . Ekkor a geometriai eloszlás momentumainak generáló függvénye a következőképpen alakul: $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

ahol

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p))

{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2))))

. Az igazságos .

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac {q}{p}}

A geometriai eloszlás tulajdonságai

Az összes diszkrét eloszlás támasztékkal és rögzített átlaggal a geometriai eloszlás az egyik legnagyobb információs entrópiával rendelkező eloszlás . $\{1,2,3,\dots\}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geom}(1/\mu)$
Ha és függetlenek , akkor $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ i})\jobbra)

A geometriai eloszlás korlátlanul osztható .

Memóriahiány

Ha , akkor , azaz a múltbeli "kudarcok" száma nem befolyásolja a jövőbeni "kudarcok" számát. $X\sim \mathrm {Geom} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

A geometriai eloszlás az egyetlen diszkrét eloszlás, amelynek nincs memória tulajdonsága .

Kapcsolat más disztribúciókkal

A geometriai eloszlás a negatív binomiális eloszlás speciális esete : . $\mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p)$
Ha és függetlenek , akkor $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Ha a paraméter r=1 a negatív binomiális eloszlásban, akkor a negatív binomiális eloszlás lesz a geometriai eloszlás . Az utolsó eloszlás a Bose-Einstein eloszlás egyetlen forráshoz [1]

Példa

Addig dobjuk a kockát , amíg fel nem jön az első hat.

Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az első siker előtt végrehajtott kísérletek száma, beleértve az utolsó sikeres próbát is, nem lesz több háromnál.

Hadd . Akkor

X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\jobbra) \kb. 0{,}42

Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a „kudarcok” száma az első „siker” előtt legfeljebb kettő lesz.

Hadd . Akkor

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\jobbra)^{1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}\left ({\frac {1}{6}}\jobbra)\kb. 0{,}42

Lásd még

Binomiális eloszlás .

Linkek

↑ Schopper H. (szerk.) Elektron - Pozitron kölcsönhatások. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. 133. o.// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Archivált : 2021. május 10. a Wayback Machine -nél

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó