Végtelenül osztható eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. október 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A korlátlanul osztható eloszlás a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó olyan eloszlása , amely tetszőleges számú független, egyenlő eloszlású tagként ábrázolható.

Definíció

Egy valószínűségi változót végtelenül oszthatónak mondunk, ha bármelyikre ábrázolható formában $Y$ $n\in \mathbb {N}$

{\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)))

ahol független , azonos eloszlású valószínűségi változók . ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n))$

A korlátlanul osztható eloszlások tulajdonságai

Egy korlátlanul osztható valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a következőképpen alakul: $\phi _{Y}(t)$ $Y$

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

A korlátlanul osztható eloszlás karakterisztikus függvénye nem tűnik el.
A korlátlanul osztható eloszlásfüggvényű független valószínűségi változók összegének eloszlásfüggvénye is korlátlanul osztható.
Az az eloszlásfüggvény, amely korlátlanul osztható eloszlásfüggvények sorozatára korlátoz, korlátlanul osztható.

A korlátlanul osztható eloszlások kanonikus ábrázolásai

Kolmogorov tétele

Ahhoz, hogy egy véges varianciájú eloszlásfüggvény korlátlanul osztható legyen, szükséges és elégséges, hogy a karakterisztikus függvényének logaritmusa a következő alakú legyen: $\Phi (x)$ $\phi (t)$

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2} }}dG(x)

ahol egy valós állandó és egy nem csökkenő függvénye a korlátos változásnak, az integrál Lebesgue-Stieltjes értelemben értendő . $\gamma$ $G(x)$

Levy-Khinchin formula

Legyen egy korlátlanul osztható eloszlás karakterisztikus függvénye -on . Ekkor van egy nem csökkenő függvénye a korlátos variációnak úgy, hogy $\phi (t)$ $\mathbb {R}$ $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+ u^{2}}}\jobbra)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\jobbra)dG(u)

Példák

A következő eloszlások korlátlanul oszthatók: Cauchy eloszlás , Poisson eloszlás , normál eloszlás , gamma eloszlás .

Legyen adott egy valószínűségi tér , ahol $(\mathbb {N},2^{\mathbb {N}},m)$

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

egyesek számára . Ezután egy valószínűségi változó , amelynek alakja $\lambda>0$ $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

nem korlátlanul osztható.

Végtelenül osztható eloszlás lokálisan kompakt Abeli-csoportokon

Egy lokálisan kompakt Abel-csoporton végtelenül osztható eloszlást mondunk, ha minden természeteshez létezik egy olyan elem és egy olyan eloszlás , amelyen , ahol egy degenerált eloszlás koncentrálódik (lásd [1] , [2] ). $\mu$ $x$ $n$ $x_{n}\in X$ $\mu _{n}$ $x$ $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n))$ $E_{x_{n))$ $x_{n}$

Példák a korlátlanul osztható eloszlásokra lokálisan kompakt Abel-csoportokon: degenerált eloszlások, kompakt alcsoportok Haar-eloszlásának eltolódásai, általánosított Poisson-eloszlások .

Lásd még

Stabil eloszlás .

Irodalom

B.V. Gnedenko Valószínűségelmélet tanfolyam, Moszkva, Nauka, 1965, 400 pp.

Jegyzetek

↑ K. R. Parthasarathy, R. Ranga Rao, S. R. S. Varadhan, "Valószínűségi eloszlások lokálisan kompakt Abeli csoportokon", Mathematics , 9 :2 (1965), ( Parthasarathy, KR ; Rao, RR ; Varadhan, SRS Archivált : Wayback 26. augusztus 20 Gépi valószínűségi eloszlások lokálisan kompakt Abeli-csoportokon Ill. J. Math 7, 337-369 (1963) Archivált 2020. augusztus 26-án a Wayback Machine -nél )
↑ Parthasarathy KR Valószínűségi mértékek metrikus tereken. Valószínűleg. Math. stat. - 3. - New York - London: Academic Press, 1967.