Függetlenség (valószínűségelmélet)

A valószínűségszámításban két véletlenszerű eseményt függetlennek nevezünk , ha az egyik előfordulása nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét. Hasonlóképpen két valószínűségi változót függetlennek nevezünk, ha az egyik ismert értéke nem ad információt a másikról.

Független események

Feltételezzük, hogy egy rögzített valószínűségi teret kapunk . $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$

Definíció 1. Két esemény független, ha $A,B\in {\mathcal {F}}$

egy esemény bekövetkezése nem változtatja meg az esemény bekövetkezésének valószínűségét .

A

B

Megjegyzés 1. Abban az esetben, ha egy esemény valószínűsége , mondjuk , nem nulla, azaz a függetlenség definíciója ekvivalens: $B$ $\mathbb {P} (B)>0$

\mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A),

vagyis a feltétel alatti esemény feltételes valószínűsége egyenlő az esemény feltétlen valószínűségével . $A$ $B$ $A$

Definíció 2. Legyen véletlen események családja (véges vagy végtelen) , ahol egy tetszőleges indexhalmaz . Ekkor ezek az események páronként függetlenek , ha ebből a családból bármely két esemény független, azaz $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $én$

\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\neq j.

3. definíció. Legyen véletlenszerű események családja (véges vagy végtelen) . Ekkor ezek az események együttesen függetlenek , ha ezeknek az eseményeknek bármely véges halmazára a következő igaz: $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$

\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{N}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{i_{N}}).

Megjegyzés 2. A közös függetlenség nyilvánvalóan páronkénti függetlenséget jelent. Ennek fordítva általában nem igaz.

Példa 1. Dobjunk három kiegyensúlyozott érmét. Határozzuk meg az eseményeket a következőképpen:

$A_{1}$ : az 1. és 2. érme ugyanarra az oldalra esett;
$A_{2}$ : a 2. és 3. érme ugyanarra az oldalra esett;
$A_{3}$ : az 1. és 3. érme ugyanarra az oldalra esett;

Könnyen ellenőrizhető, hogy ebből a halmazból bármely két esemény független-e. Pedig a három együttes függő, hiszen ha tudjuk például, hogy az események megtörténtek , pontosan tudjuk, mi is történt. Formálisabban: . Másrészt, . $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2} }=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})\quad \forall i\neq j$ $\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{4}}\neq {\frac {1}{2}}\cdot {\ frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2})\cdot \mathbb { P} (A_{3})$

Független szigma-algebrák

Definíció 4. Legyen két szigma-algebra ugyanazon a valószínűségi téren. Függetlennek nevezzük őket, ha bármelyik képviselőjük független egymástól, azaz: ${\mathcal {A}}_{1},\;{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1 }\in {\mathcal {A}}_{1},\;A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}

Ha kettő helyett a szigma-algebrák egész családja (esetleg végtelen), akkor a páronkénti és együttes függetlenség nyilvánvaló módon definiálva van.

Független valószínűségi változók

Definíciók

5. definíció . Legyen adott egy valószínűségi változók családja , így . Ekkor ezek a valószínűségi változók páronként függetlenek , ha az általuk generált szigma-algebrák páronként függetlenek . A véletlen változók függetlenek egymástól , ha az általuk generált szigma-algebrák azok. $(X_{i})_{i\in I}$ $X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I$ $\{\sigma (X_{i})\}_{i\in I}$

Meg kell jegyezni, hogy a gyakorlatban, hacsak nem a szövegkörnyezetből következtetnek rá, a függetlenség az összesített függetlenséget jelenti .

A fent megadott definíció egyenértékű a következők bármelyikével. Két valószínűségi változó akkor és csak akkor független , ha : $X,\;Y$

Bármelyikhez : $A,\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

\mathbb {P} (X\in A,\;Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\cdot \mathbb {P} (Y\in B)=\mathbb { P} (\left\{\omega :X(\omega )\in A,~\omega \in \Omega \right\})\cdot \mathbb {P} (\left\{\omega :Y(\omega )\in B,~\omega \in \Omega \right\}).

Bármely Borel-függvény esetében a valószínűségi változók függetlenek. $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(X),\;g(Y)$
Bármilyen korlátozott Borel funkcióhoz : $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\mathbb {E} \left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \left[g(Y)\ jobb].

Független valószínűségi változók tulajdonságai

Legyen egy véletlen vektor eloszlása , legyen az eloszlása és legyen az eloszlása . Akkor függetlenek akkor és csak akkor $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $(X,\;Y)$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $\mathbb {P} ^{Y}$ $Y$ $X,\;Y$

\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y},

ahol a mértékek (közvetlen) szorzatát jelöli . $\otimes$

Legyen a kumulatív eloszlásfüggvények, ill. Akkor függetlenek akkor és csak akkor $F_{X,\;Y},\;F_{X},\;F_{Y}$ $(X,\;Y),\;X,\;Y$ $X,\;Y$

F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y).

Legyenek a valószínűségi változók diszkrétek . Akkor függetlenek akkor és csak akkor $X,\;Y$

\mathbb {P} (X=i,\;Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j).

Legyenek a valószínűségi változók együttesen abszolút folytonosak, azaz együttes eloszlásuk sűrűsége . Akkor függetlenek akkor és csak akkor $X,\;Y$ $f_{{X,\;Y}}(x,\;y)$

f_{X,\;Y}(x,\;y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,\;y)\in \mathbb {R } ^{2}

ahol a valószínűségi változók sűrűsége , ill. $f_{X}(x),\;f_{Y}(y)$ $x$ $Y$

Legyenek a valószínűségi változók függetlenek és véges szórással . Akkor ezek nincsenek összefüggésben . $X,\;Y$
A sokaságban független valószínűségi változók bármely gyűjteménye páronként független, de nem minden páronkénti független gyűjtemény független a sokaságban. Ez utóbbit mutatja S. N. Bernstein érmefeldobási példája .

n-áris függetlenség

Általánosságban elmondható, hogy bárki beszélhet -ári függetlenségről. Az elgondolás hasonló: a valószínűségi változók családja -arno független, ha számos részhalmaza kollektíven független. A függetlenséget az elméleti számítástechnikában használták a MAXEkSAT problématétel bizonyítására . $n\geqslant 2$ $n$ $n$ $n$ $n$

Lásd még

Linkek

Russell, Stuart. Mesterséges intelligencia: modern megközelítés / Stuart Russell, Peter Norvig. - Prentice Hall , 2002. - 478. o . — ISBN 0-13-790395-2 .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)