Az intézkedések terméke

A funkcionális elemzésben , a valószínűségszámításban és a kapcsolódó diszciplínákban a mértékek szorzata formális módja annak, hogy mértéket hozzunk létre két, mértékekkel rendelkező tér Descartes-szorzatán.

Épület

Legyen két térköz mértékekkel . Ekkor az és halmazok derékszögű szorzata . $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2))$ $X_{1}$ $X_{2}$

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ részhalmazok családja . Általánosságban elmondható, hogy nem zárt megszámlálható uniók alá , ezért nem -algebra . Bemutatjuk a jelölést ${\displaystyle X_{1}\times X_{2))$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F} } }_{2})

a minimális -algebra, amely . Akkor van egy mérhető tér . A következőképpen határozunk meg rajta egy mértéket : $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Ezután egyedi módon folytatódik tól ig : $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\ mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

vagy

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\ mu _{1}(dx_{1}),

ahol

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

egy szakasz mentén , és

A

x_{2}\in X_{2}

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

- szakasz mentén .

A

x_{1}\in X_{1}

A kapott mértéket a mértékek és a szorzatának nevezzük . A mértékteret az eredeti terek (közvetlen) szorzatának nevezzük . $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \ mu_{2})$

Jegyzetek

Ha két valószínűségi tér , akkor szorzatának nevezzük. $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\otimes {\mathbb {P}}_{2})$
Ha a valószínűségi változók , akkor az eloszlások a és a , illetve az eloszlása a valószínűségi vektoron . Ha függetlenek , akkor $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y))$ $\mathbb {R}$ $x$ $Y$ $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top ))$ $X,\;Y$