Borel-Cantelli Lemma

A Borel-Cantelli lemma a valószínűségszámításban egy végtelen eseménysorozatra vonatkozó eredmény. A lemmát gyakran használják határtételek bizonyítására. A lemmát általában két állításra osztják, ezeket az első és a második Borel-Cantelli lemmának nevezik.

Első Lemma

Legyen adott egy valószínűségi tér és egy eseménysorozat . Jelöli $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\jobbra)

Aztán ha a sorozat konvergál, akkor . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

Második lemma

Ha minden esemény együttesen független , és a sorozatok eltérnek, akkor . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Megjegyzés

Az első Borel-Cantelli lemmában nem szükséges az események függetlensége.

Lásd még

A nulla vagy az egy törvénye ;
Végtelen majom tétel ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Kuratowski konvergencia

Linkek

Prokhorov, A.V. (2001), Borel–Cantelli lemma , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4