Feltételes valószínűség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. január 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 26 szerkesztést igényelnek .

A feltételes valószínűség egy esemény bekövetkezésének valószínűsége, feltéve , hogy az esemény megtörtént. Egy esemény valószínűségét, amelyet azzal a feltételezéssel számolunk, hogy valami már ismert a kísérlet eredményéről (az esemény megtörtént), jelöljük . Például annak a valószínűsége, hogy valaki egy véletlenszerű napon köhögni fog . De ha tudjuk vagy feltételezzük, hogy az ember megfázott, akkor sokkal nagyobb eséllyel kezd el köhögni. Így a köhögés feltételes valószínűsége bármely személynél magasabb, feltéve, hogy megfázott . $A$ $B$ $A$ $B$ $P(A|B)$ $5\%$ $75\%$

Egy nyilvánvaló speciális eset: szépen illusztrálja a vicc " Egy internetes felmérés kimutatta, hogy a válaszadók 100%-a használja az internetet." $P(A|A)=1=100\%$

A feltételes valószínűség a valószínűségszámítás egyik legalapvetőbb és egyik legfontosabb fogalma.

Ha , akkor a és eseményeket függetlennek nevezzük, azaz az egyik előfordulása nem változtat a másik bekövetkezésének valószínűségén. Valamint általában . Például, ha Önnek dengue-láza van (esemény ), akkor annak valószínűsége, hogy a lázra (esemény ) pozitív teszteredményt kap , . Ezzel szemben, ha a teszt pozitív dengue-lázra, akkor csak . Ebben az esetben egy esemény (dengue-láz jelenléte) az esemény körülményei között (teszt pozitív), pl. . Ha a két valószínűséget hibásan egyenlővé tesszük, különféle tévhitek merülnek fel, például az alap százalékos hiba . A feltételes valószínűség pontos kiszámításához Bayes-tételt használunk . $P(A|B)=P(A)$ $A$ $B$ $P(A|B)\neq P(B|A)$ $B$ $A$ $90\%$ $P(A|B)=90\%$ $15\%$ $B$ $A$ $P(B|A)=15\%$

Definíció

Az esemény szerint

Kolmogorov definíciója

Legyen két esemény és tartozik - a valószínűségi tér mezőjébe és . A feltétel szerinti feltételes valószínűség egyenlő az események valószínűségének és a valószínűséggel való osztásának hányadosával : $A$ $B$ $\sigma$ $P(B)>0$ $A$ $B$ $A$ $B$ $B$

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))$

Vegye figyelembe, hogy ez egy definíció, és nem elméleti eredmény. Az értéket egyszerűen jelöljük , és a feltétel alatti feltételes valószínűségnek nevezzük . ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ $P(A|B)$ $A$ $B$

A feltételes valószínűség mint valószínűségi axióma

Egyes szerzők, mint például de Finetti , inkább a feltételes valószínűséget a valószínűség axiómájaként vezetik be:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$ .

A feltételes valószínűség mint egy feltételes esemény valószínűsége

A feltételes valószínűség egy feltételes esemény valószínűségeként jelölhető . Feltételezzük, hogy az események alapjául szolgáló teszt megismétlődik . Ekkor a feltételes valószínűség az $A_{B}$ $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))))$ ,

ami megfelel Kolmogorov feltételes valószínűség-definíciójának. Vegye figyelembe, hogy az egyenlet elméleti eredmény, nem definíció. A feltételes események definíciója a Kolmogorov-féle axiómák, és különösen a Kolmogorov-féle valószínűség-értelmezéshez közel álló kísérleti adatok alapján érthető. Például a feltételes események megismétlődhetnek, ami egy feltételes esemény általánosított fogalmához vezet. Felírhatók független és egyenlő eloszlású valószínűségi változók sorozataként , ami a nagy számok erős törvényét jelenti a feltételes valószínűségre vonatkozóan: ${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)))$ ${\displaystyle A_{B(n))).$ ${\displaystyle (A_{B(n)})_{n\geq 1)),$

${\displaystyle P({\underset {n\longrightarrow \infty }{\lim )){\overline {A_{B}^{n))}=P(A|B))=100\%} .$

Halmazelméleti definíció

Ha , akkor a definíció szerint a feltételes valószínűség nincs megadva. Meghatározható azonban az ilyen események (például folytonos valószínűségi változóból származó) σ-algebrája alapján . $P(B)=0$ $P(A|B)$

Például, ha a és nem degenerált és együttesen folytonos valószínűségi változók eloszlássűrűséggel és pozitív mértékkel, akkor $x$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y)$ $B$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x ,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy }}.}$

Problémás az az eset, amikor a mérték egyenlő nullával. Ha , akkor a feltételes valószínűség így írható fel $B$ $B=\{y_{0}\}$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\ ,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}$

ez a megközelítés azonban a Borel-Kolmogorov paradoxonhoz vezet . A nulla mérték általános esete még problematikusabb, mivel a határérték, mint minden nullára hajlamos, ${\displaystyle \delta y_{i))$

${\displaystyle P(X\in A\mid Y\in \cup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i)){\sum _{i}\int _{ x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}},}$

a hozzáállásuktól függ, mivel hajlamosak a nullára.

A helyesen feltételes valószínűség általános formában az indikátorfüggvény feltételes matematikai elvárásaként definiálható. Ebben az esetben, mivel a feltételes matematikai elvárás szinte mindenhol meg van adva, egy nulla valószínűségű esemény feltételes valószínűsége tetszőlegesen kiterjeszthető. A helyzet megváltozik, ha az esemény valamilyen paramétertől függ. Ebben az esetben, bár előfordulhat, hogy az egyes paraméterértékek valószínűsége nulla, és ezért az egyes paraméterek feltételes valószínűsége formálisan nincs megadva, lehetséges a paraméterfüggő feltételes valószínűséget úgy definiálni, hogy az majdnem jól definiálható legyen. mindenhol.

A valószínűségi változó szerint

Legyen egy valószínűségi változó és legyen egy esemény. A feltétel alatti feltételes valószínűséget olyan valószínűségi változóként jelöljük, amely felveszi az értéket $x$ $A$ $A$ $x$ $P(A|X)$

$P(A\mid X=x)$

bármikor

$X=x.$

Ezt formálisabban is meg lehet írni

$P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).$

Most a feltételes valószínűség már függvénye : például, ha a függvény definíciója: $P(A|X)$ $x$ $g$

${\displaystyle {\displaystyle g(x)=P(A\mid X=x),))$

akkor

${\displaystyle {\displaystyle P(A|X)=g\circ X.))$

Különösen csak szinte mindenhol adják. Általános esetben helyes a feltételes matematikai elváráson keresztül bevezetni: a függvény feltételes matematikai elvárását a valószínűségi változó vonatkozásában . Egy diszkrét valószínűségi változó esetén helyes a halmazelméleti definíció használata, mivel az események valószínűsége nem nulla. $P(A|X)$ $P(A|X)$ $g$ $x$ $x$ $X=x$

Részleges feltételes valószínűség

Egy esemény részleges feltételes valószínűsége olyan események feltétele mellett, amelyek valószínűsége nem egyenlő ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m)))))$ $A$ $Kettős}$ $kettős}$ $100\%.$

A részleges feltételes valószínűségnek akkor van értelme, ha a feltételeket a kísérlet iterációiban teszteljük. Az ilyen korlátos részleges feltételes valószínűséget úgy határozhatjuk meg, mint egy esemény bekövetkezésének feltételes várakozását egy ellenőrzéssorozat során, amely megfelel minden valószínűségi specifikációnak , azaz: $n$ $n$ $A$ $n$ ${\displaystyle B_{i}\equiv b_{i))$

${\displaystyle P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})=E({\overline {A^{n)) }|{\overline {B_{1}^{n}}}=b_{1}\cdots {\overline {B_{m}^{n}}}=b_{m}})}$

Ez alapján a részleges feltételes valószínűséget így írhatjuk fel

${\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})={\underset {n\longrightarrow \infty }{lim}}P^ {n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}$ , ahol $b_{i},n\in \mathbb {N}$

Példák

Tegyük fel, hogy valaki dob két korrekt, hatoldalú kockával, és meg kell jósolnunk az eredményt.

Legyen az első kockára dobott érték. $D_{1}$

Legyen a második kockára dobott érték. $D_{2}$

Mi ennek a valószínűsége ? $D_{1}=2$

Az 1. táblázat az esetek valószínűségi terét mutatja. $36$

Nyilvánvaló, hogy pontosan azokban az esetekben, mint ; és így, $D_{1}=2$ $6$ $36$ $P(D_{1}=2)=6/36=1/6.$

Asztal 1

+		$D_{2}$
+		egy	2	3	négy	5	6
$D_{1}$	egy	2	3	négy	5	6	7
	2	3	négy	5	6	7	nyolc
	3	négy	5	6	7	nyolc	9
	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz
	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy
	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12

Mi ennek a valószínűsége ? $D_{1}+D_{2}\leq 5$

A 2. táblázat azt mutatja, hogy pontosan ugyanazon eredmények esetén tehát $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $tíz$ $36$ $P(D_{1}+D_{2}\leq 5)=10/36.$

2. táblázat

+		$D_{2}$
+		egy	2	3	négy	5	6
$D_{1}$	egy	2	3	négy	5	6	7
	2	3	négy	5	6	7	nyolc
	3	négy	5	6	7	nyolc	9
	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz
	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy
	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12

Ennek ismeretében mennyi a valószínűsége ? $D_{1}=2$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$

A 3. táblázat azt mutatja, hogy , feltéve, hogy pontosan az eredményekre vonatkozik. $D_{1}=2$ $D_{1}+D_{2}\leq 5$ $3$ $tíz$

Így a feltételes valószínűség Ez látható az általunk korábban bevezetett definícióból: $P(D_{1}=2|D_{1}+D_{2}\leq 5)=3/10=0,3.$

${\displaystyle P(A|B)={\tfrac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\tfrac {3/36}{10/36}}={\ tfrac {3}{10}}.}$

3. táblázat

+		$D_{2}$
+		egy	2	3	négy	5	6
$D_{1}$	egy	2	3	négy	5	6	7
	2	3	négy	5	6	7	nyolc
	3	négy	5	6	7	nyolc	9
	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz
	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy
	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12

Függetlenségi események

Az eseményeket és függetlennek nevezzük, ha $A$ $B$

${\displaystyle {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B).))$

Ha , akkor $P(B)\neq 0$

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A).))$

Hasonlóképpen, ha , akkor $P(A)\neq 0$

${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)=P(B).))$

Független események kontra egymást kizáró események

Mint korábban említettük, az események függetlensége azt jelenti

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A)\quad {\text{u}}\quad P(B|A)=P(B)))$

feltéve, hogy a feltétel valószínűsége nem egyenlő nullával. Ha azonban az események kölcsönösen kizárják egymást, akkor

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=0,\quad P(B|A)=0,\quad {\text{u))\quad P(A\cap B)=0.))$

Valójában az egymást kizáró események nem lehetnek függetlenek, hiszen az egyik esemény megtörténtének ismerete arra utal, hogy a másik nem történt meg.

Tévképzetek

Az A esemény valószínűsége B feltétel esetén megegyezik a B esemény valószínűségével az A feltétel mellett

Általános esetben nem feltételezhetjük, hogy a és közötti kapcsolatot a Bayes-képlet adja meg : $P(A|B)\approx P(B|A).$ ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)))$ ${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)))$

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)P(B)}{P(A)))\Bal jobbra {\frac {P( B|A)}{P(A|B)}}={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{igazított))))$

Vagyis csak akkor, ha mi egyenértékű $P(A|B)\approx P(B|A),$ ${\frac {P(B)}{P(A)}}\approx 1,$ $P(A)\approx P(B).$

A határvalószínűség egyenlő a feltételes valószínűséggel

Általános esetben ezek a valószínűségek nem tekinthetők a teljes valószínűségi képlet alapján összefüggőnek : $P(A)\approx P(A|B).$

$P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A|B_{n})P(B_{n}),$

ahol az események megszámlálható partíciót alkotnak . $B_{n}$ $\Omega$

Ez a tévhit a kiválasztási torzításból eredhet. Például egy orvosi állítás összefüggésében olyan esemény, amely egy krónikus betegség miatt következik be, bizonyos körülmények között (akut állapot) . Legyen olyan esemény, amikor egy személy orvosi segítséget kér. Tegyük fel, hogy a legtöbb esetben nem okoz , tehát alacsony. Tételezzük fel azt is, hogy orvosi beavatkozásra csak akkor van szükség, ha az miatt történt . A betegek tapasztalatai alapján az orvos tévesen arra a következtetésre juthat, hogy magas. Az orvos által megfigyelt tényleges valószínűség . $S_{C}$ $S$ $C$ $H$ $C$ $S$ $P(S_{C})$ $S$ $C$ $P(S_{C})$ $P(S_{C}|H)$

Formális definíció

Formálisan új valószínűségként definiálható ugyanazon a valószínűségi téren, amely megköveteli, hogy a teljes mértékben benne foglalt események valószínűsége ugyanannyiszor megváltozzon, és a teljes egészében nem -ben foglalt események valószínűsége legyen . ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)))$ $B$ $B$ $0$

Legyen az elemi eredmények tere . Tegyük fel, hogy egy esemény történt . Az új valószínűségi érték a következőhöz lesz rendelve . Valamelyik állandó együttható új eloszlása a következő: $\Omega$ ${\displaystyle \{\omega \))$ $B\subseteq \Omega$ ${\displaystyle \{\omega \))$ $\alpha$

${\begin{aligned}&{\text{1. }}\omega \in B:P(\omega |B)=\alpha P(\omega )\\&{\text{2. }}\omega \notin B:P(\omega |B)=0\\&{\text{3. }}\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=1.\end{igazított}}$

α kifejezéséhez cserélje be 1-et és 2-t 3-ra:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}1&=\sum _{\omega \in \Omega }{P(\omega |B)}=\sum _{\omega \in B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _{\omega \notin B}P(\omega |B)))=\alpha \sum _{\omega \in B}{P(\omega ) }=\alpha \cdot P(B)\Rightarrow \alpha ={\frac {1}{P(B)}}\end{igazított))))$

Tehát az új disztribúció

${\begin{aligned}{\text{1. }}\omega \in B&:P(\omega |B)={\frac {P(\omega )}{P(B)))\\{\text{2. }}\omega \notin B&:P(\omega |B)=0\end{igazított}}$

Most pedig az eseményről : $A$

${\begin{aligned}P(A|B)&=\sum _{\omega \in A\cap B}{P(\omega |B)}+{\cancelto {0}{\sum _ {\omega \in A\cap B^{c}}P(\omega |B)))=\sum _{\omega \in A\cap B}{\frac {P(\omega )}{P( B)}}={\frac {P(A\cap B)}{P(B)))\end{igazított}}$