Két boríték problémája

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 8 szerkesztést igényelnek .

A két boríték problémája ( The paradox of two envelopes ) egy jól ismert paradoxon, amely a valószínűségszámítás szubjektív felfogásának jellemzőit és alkalmazhatóságának korlátait egyaránt szemlélteti . Két boríték álcájában ez a paradoxon az 1980- as évek végén jelent meg, bár a matematikusok a 20. század első fele óta ismerik különféle megfogalmazásokban .

Megfogalmazás

Két megkülönböztethetetlen boríték van pénzzel. Az egyikben kétszer akkora mennyiség található, mint a másodikban. Ennek az összegnek az értéke nem ismert. A borítékot két játékos kapja. Mindegyikük kinyithatja a saját borítékát, és megszámolhatja a benne lévő pénzt. Ezek után a játékosoknak el kell dönteniük: érdemes-e kicserélni a borítékukat valaki máséra?

Mindkét játékos a következőképpen érvel. Látom az összeget a borítékomban . Valaki más borítékában ugyanilyen valószínű, hogy vagy megtalálható . Ezért ha kicserélem a borítékot, akkor átlagosan több lesz, mint most. Szóval jó a csere. A csere azonban nem lehet mindkét játékos számára előnyös. Hol a hiba az érvelésükben? $x$ $2X$ ${\frac {X}{2))$ $\left(2X+{\frac {X}{2}}\right)/2={\frac 54}X$

Történelem

1953- ban Maurice Krajczyk belga matematikus egy hasonló problémát javasolt két kötés példaként [1] :

Mind a két arc azt állítja, hogy a nyakkendője szebb. A vita megoldása érdekében választottbíróhoz fordulnak. A győztesnek meg kell adnia a vesztesnek a döntetlenjét vigasztalásként. A vitázók mindegyike a következőképpen érvel: „Tudom, mennyibe kerül a nyakkendőm. Elveszíthetem, de szebb döntetlent is nyerhetek, így előnyöm van ebben a vitában.” Hogyan lehet egy játékban két résztvevővel mindegyikük előnye?

Krajczyk azt állítja, hogy van szimmetria a játékban, de azt sugallja, hogy helytelen az 1/2 valószínűséget használni az átlagos jövedelem kiszámításakor [2] :

A vita mindkét résztvevője szempontjából a játék szimmetrikus, és mindegyikük nyerési valószínűsége egyenlő. A valószínűség azonban nem objektíven adott tény, és a probléma feltételeinek ismeretétől függ. Ebben az esetben ésszerű, hogy ne próbáljuk meg becsülni a valószínűséget.

Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] A versenyzők szempontjából a játék feltételei szimmetrikusak, így mindegyiknek fele-fele a nyerési valószínűsége. A valóságban azonban a valószínűség nem objektíven adott tény, hanem a körülmények ismeretétől függ. Ebben az esetben nem árt megbecsülni a valószínűséget.

A probléma Martin Gardnernek köszönhetően vált népszerűvé , aki 1982 -ben "Kinek a pénztárcája kövérebb?" címmel írta le. [3] . Gardner egyetért Krajczykkal abban, hogy a játék "tisztességes" (szimmetrikus), és abban, hogy a játék nem lehet egyszerre mindkét fél számára előnyös, valamint abban is, hogy a játékosok érvelése kétségesnek tűnik:

Lehet-e ugyanaz a játék „jövedelmezőbb” mind a két partner számára? Egyértelmű, hogy nem lehet. Nem azért merül fel a paradoxon, mert minden játékos tévesen azt hiszi, hogy esélye a győzelemre és a vereségre egyenlő?

Gardner azonban azt is megjegyzi, hogy Krajczyk nem adta meg a probléma részletes matematikai elemzését:

Sajnos ez semmit sem árul el arról, hogy pontosan hol rejlik a hiba a két játékos érvelésében. Bármennyire is próbáltuk, soha nem tudtunk egyszerű és kielégítő megoldást találni Krajczyk paradoxonára.

A jövőben a problémát „két koporsó paradoxonának”, „két zseb paradoxonának”, „csere paradoxonának” stb.

A paradoxon iránti új érdeklődés azután támadt, hogy Barry Nailbuff a Journal of Economic Perspectives folyóiratban megjelent egy cikket, amely a valószínűségszámítás számos paradoxonát sorolja fel [4] . Miután sok választ kapott erre a kiadványra, elkészítette a második cikket "A másik személy borítéka mindig zöldebb" ( Eng. The Other Person's Envelope is Always Greener ), amelyet közvetlenül a borítékok problémájának szenteltek [2] . Az általa javasolt megfogalmazásban két boríték található [2] :

Az egyik borítékba bizonyos, mások által ismeretlen pénzösszeget helyeznek, és ezt a borítékot Ali kapja. Aztán titokban feldobnak egy érmét. Ha fejek jönnek fel, a második boríték megduplázódik az első borítékban lévő mennyiséggel. Ellenkező esetben az összeg fele kerül a második borítékba. Ezt a borítékot Baba kapja. Ali és Baba felbonthatják a borítékaikat anélkül, hogy elmondanák egymásnak az ott látott összegeket. Ezt követően (közös megegyezéssel) borítékot cserélhetnek.

Tegyük fel, hogy Ali 10 dollárt lát a borítékában. Ali azt sugallja, hogy Babának egyformán valószínű, hogy 5 vagy 20 dollár van a borítékban. Ebben az esetben a borítékok cseréje Alinak 2,5 dollárt (vagy 25%) hoz. Hasonlóképpen, Baba úgy véli, hogy Ali borítéka valószínűleg kétszer kisebb vagy nagyobb mennyiséget tartalmaz, mint ami nála van. Ezért a borítékok cseréjekor átlagosan . Így Baba is arra számít, hogy a borítékban lévő összeghez képest átlagosan a bevétel 25%-át kapja meg. $x$ $(-0{,}5x+x)/2=0{,}25x$

Ez azonban paradox. A borítékok cseréje nem lehet előnyös mindkét résztvevő számára. Hol a hiba az érvelésükben?

Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] Két borítékod van. Az egyikbe teszel egy rejtett pénzt, és odaadod a borítékot Alinak. Aztán feldobsz egy rejtett érmét. Ha felmerül, akkor az eredeti pénzösszeg kétszeresét helyezi a második borítékba. Ha kiakad, csak az eredeti mennyiség felét tegye a második borítékba. Ezt a második borítékot adja oda Babának. Eddig mindkét boríték tartalma rejtve van, akárcsak az érmefeldobás eredménye. Ali és Baba privátban megtekinthetik a saját borítékukban lévő pénzösszeget. Ezután lehetőséget kapnak a borítékok kereskedelmére, ha mindketten beleegyeznek. Tegyük fel, a vita kedvéért, hogy Ali 10,00 dollárt talál a borítékában. Ali azzal érvel, hogy Babának egyformán 5,00 vagy 20,00 dollárja lesz. A borítékok kereskedése 2,50 dollár (vagyis 25 százalék) várható nyereséget eredményez. Kockázatsemlegesen fellépve szeretne váltani. Baba most belenéz a borítékjába. Bármilyen összeget is talál (5,00 vagy 20,00 dollár), ő is úgy érvel, hogy Alinak ugyanilyen valószínűséggel a fele vagy kétszerese lesz az összege. Az elvárás 0,5[0,5X + 2X] = 1,25X, tehát ő is 25 százalékos nyereséget vár a borítékváltástól. De ez paradox. A két borítékban lévő összeg összege bármilyen. A kereskedési borítékok nem tehetik jobbá mindkét résztvevőt. Ennek ellenére mindketten 25 százalékos növekedésre számítanak. Hol hibáztak?

A probléma feltételeinek Nailbuf általi módosítása és az általa javasolt megoldások sok mindent megvilágítottak a paradoxon lényegéről . Azonban egy érme feldobása az első boríték kitöltése után észrevehetően megsértette a játékosok nagybetűinek kezdeti szimmetriáját. A döntésnél a hangsúly arra helyeződött át, hogy bizonyítsák a rajtfeltételek egyenetlenségét Baba Alihoz képest. Ezért a további evolúció eredményeként [5] az érme eltűnt a probléma állapotából, aminek segítségével Nailbuf meghatározta a második boríték tartalmát.

A mai napig a legismertebb és a matematikusok számára a legnagyobb érdeklődésre számot tartó tökéletesen szimmetrikus környezet, a külsőleg megkülönböztethetetlen borítékok kevesebb és kétszer annyit tartalmaznak, és az egyik boríték felnyitható, mielőtt a csere jövedelmezőségéről vitatkoznánk.

A paradoxon feloldása

Nailbuf szemszögéből [2] az első kielégítő magyarázatot problémájára Sandi Zabell adja "Veszteségek és nyereségek: a csere paradoxona" [6] című cikkében . Némileg átfogalmazva Nailbuf ezt írja:

Baba úgy véli, hogy az általa látott összeg nem számít, tekintettel arra, hogy később borítéka nagyobb mennyiséget tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy Baba azt hiszi, hogy annak a valószínűsége, hogy a borítékában nagyobb összeg van, 1/2, függetlenül a látott mennyiségtől. Ez csak akkor igaz, ha nullától a végtelenig minden érték ekvivalens. De ha a végtelen számú lehetőség mindegyike egyformán valószínű, akkor az egyes értékek valószínűsége nulla. Ekkor minden eredménynek nulla az esélye. És ez nonszensz.

Eredeti szöveg (angol)[ showelrejt] Baba úgy véli, hogy az általa látott mennyiség nem informatív, tekintettel arra, hogy a borítéka utólagos valószínűséggel nagyobb mennyiséget tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy Baba azt hiszi, hogy annak a valószínűsége, hogy a borítéka nagyobb mennyiséget tartalmaz, ½, függetlenül attól, hogy mekkora mennyiséget lát a borítékban. Ez csak akkor igaz, ha nullától a végtelenig minden érték egyformán valószínű. De ha végtelen számú lehetőség mindegyike egyformán valószínű, akkor bármelyik kimenetel esélyének nullának kell lennie. Akkor minden eredménynek nulla az esélye, és ez nonszensz. Formális érvelés

Jelölje annak valószínűségét, hogy Ali borítéka tartalmazza az x összeget . Amikor Baba megfigyeli az X összeget a borítékában , annak a feltételes valószínűsége , hogy Alinak 2 X van a borítékában $f(x)$

P(A=2X\mid B=X)={\frac {f(2X)}{f(X/2)+f(2X))).

Baba a probléma megfogalmazásakor ezt a valószínűséget 1/2-nek tekinti, függetlenül attól, hogy mekkora X -et lát a borítékában. Ezért mindenkinek . Ennek megfelelően állandónak kell lennie a 0-tól a végtelenig terjedő intervallumban. Egy ilyen feltevés azonban érvénytelen: ha a valószínűség pozitív és állandó a teljes pozitív féltengelyen, akkor integrálja egyenlő a végtelennel, ami lehetetlen. Tehát a paradoxon kezdeti feltevése ( Х /2 és 2 Х ekvivalenssége ) megvalósíthatatlan. $f(X/2)=f(2X)$ $X>0$ $f(x)$

A paradoxon megoldása az eredeti megfogalmazásban.

Jelöljük az első játékos borítékában lévő összeget -vel, a második játékos borítékában lévő összeget -val , és ezek arányát . A feladat feltétele szerint a 2 és 1/2 értékeket 1/2 valószínűséggel veszi fel, és így . Ugyanez mondható el a reciproka eloszlásáról (és így elvárásáról) . A valószínűségi változók eloszlásáról nincs információ , kivéve, hogy arányuk a leírt törvény szerint oszlik el. A játékosok a borítékaikban megfigyelik az egyik teszt eredményét a "saját" valószínűségi változóik felett, de nem tudják ezt az eredményt egy másik játékosnál és a borítékokban lévő összegek arányát. Jelölje - az első játékos nyereményét (csere esetén), és ennek megfelelően - a második játékos kifizetését. Ekkor a teljes nyereség , és különösen . Ugyanabban az időben: $\xi_1$ $\xi_2$ ${\displaystyle \eta =\xi _{1}/\xi _{2))$ $\eta$ ${\mathrm {M} }\eta =5/4$ ${\displaystyle 1/\eta =\xi _{2}/\xi _{1))$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\eta$ ${\displaystyle g_{1}=\xi _{2}-\xi _{1))$ ${\displaystyle g_{2}=\xi _{1}-\xi _{2))$ $g_{1}+g_{2}=0$ ${\mathrm {M} }g_{1}+{\mathrm {M} }g_{2}=0$

${\displaystyle {\mathrm {M} }g_{2}={\mathrm {M} }(\xi _{2}\eta )-{\mathrm {M} }\xi _{2}\ ?=? \ ({\mathrm {M} }\xi _{2}){\mathrm {M} }\eta -{\mathrm {M} }\xi _{2}={\frac {1}{4)) {\mathrm {M} }\xi _{2))$ ,

ahol a kérdéssel való egyenlőség akkor igaz, ha a és mennyiségek nem korrelálnak (különösen, ha függetlenek). Hasonlóképpen, $\xi_2$ $\eta$

${\mathrm {M} }g_{1}={\mathrm {M} }(\xi _{1}/\eta )-{\mathrm {M} }\xi _{1}\ ?= ?\ ({\mathrm {M} }\xi _{1}){\mathrm {M} }(1/\eta )-{\mathrm {M} }\xi _{1}={\frac {1 }{4}}{\mathrm {M} }\xi _{1}$ ,

ahol a kérdéssel való egyenlőség akkor igaz, ha a és mennyiségek nem korrelálnak (különösen, ha és függetlenek). $\xi_1$ $1/\eta$ $\xi_1$ $\eta$

A "naiv" észlelés esetén a játékos az értéket és az "ő" értékét ( vagy ) függetlennek tekinti, vagyis a teszt ellenére az utólagos eloszlást az a priorival azonosnak tartja. Lehet, hogy valamelyiküknek igaza van, akkor a kérdéssel az egyik egyenlőség igaz. De mindkét egyenlőség nem lehet igaz, hiszen ebben az esetben kiderülne . $\eta$ $\xi_1$ $\xi_2$ $\eta$ ${\mathrm {M} }g_{1}+{\mathrm {M} }g_{2}={\mathrm {M} }\xi _{1}/4+{\mathrm {M} } \xi _{2}/4>0$

Így lehetséges, hogy az egyik játékosnak igaza van abban, hogy a cserét a maga számára előnyösnek tartja - például ez akkor igaz, ha a borítékában lévő összeg és a borítékokban lévő összegek aránya független (vagy legalábbis nem korrelált). De mindkettőnek egyszerre lehetetlen, így nincs ellentmondás.

Például Nailbuf megfogalmazásában a és mennyiségek csak függetlenek (és ezért nem korrelálnak), mert az érmét az Ali borítékában lévő mennyiségtől függetlenül dobják és dobják. Így a csere előnyös számára. De ez pont annyira hátrányos Babának. Ha Baba beleegyezik a cserébe, az vagy azért van, mert nem tudja megérteni egy ilyen forgatókönyv számára veszteségességét, vagy azért, mert félrevezették a játék szervezői. $\xi_1$ $\eta$ $\xi_1$ $1/\eta$

Ennek az egész helyzetnek a látszólagos paradoxona (nem nyilvánvaló) kiküszöbölhető, ha megértjük, hogy a pénz nemcsak két játékos borítékában kering, hanem a játék szervezőinél (szponzorainál) is. Vagyis valójában három játékos van. A fenti, a végtelenség egyenlőségére vonatkozó megfontolások (minden kimenetel egyenlő valószínűségének lehetetlensége) ezután aszerint fogalmazódnak meg, hogy a szponzorok végtelenül gazdagok, vagy korlátozott a tőkéjük. Az első esetben nincs ellentmondás, és valamennyire helytálló a játékosok megérzése a csere jövedelmezőségével kapcsolatban - teljes bevételüket egy végtelenül gazdag szponzortól veszik. A második esetben a borítékokban lévő összes összeg kiegyenlítése lehetetlen, mivel az integrálnak konvergálnia kell. Ez azt jelenti, hogy egy bizonyos mennyiség megfigyelése egy borítékban általánosságban véve valamilyen módon befolyásolja a borítékokban lévő mennyiségek arányának valószínűségét.

Jegyzetek

↑ Maurice Kraitchik. La mathematique des jeux! – 1953.
↑ 1 2 3 4 Nalebuff B. Rejtvények. A másik ember borítéka mindig zöldebb // Journal of Economic Perspectives. - 1989. - 1. évf. 3 , sz. 1 . - P. 171-181. (nem elérhető link)
↑ Gardner M. Gyerünk, találd ki! - M. : Mir, 1984. - S. 139. - 214 p. — 100.000 példány.
↑ Nalebuff B. Rejtvények: Almabor a füledben, Folyamatos dilemma, Az utolsó lesz az első és egyebek // Journal of Economic Perspectives. - 1988. - 1. évf. 2 , sz. 2 . - P. 149-156.
↑ Mark D. McDonnell, Derek Abbott. Véletlenszerű kapcsolás a kétburokos problémában // Proc . R. Soc. A. - 2009.
↑ Zabell S. A harmadik valenciai nemzetközi találkozó anyaga // Clarendon Press, Oxford. - 1988. - P. 233-236.