Geometriai progresszió

A geometriai sorozat egy , , , ( a progresszió tagjai ) számsorozat , amelyben a másodiktól kezdve minden következő számot az előző tagból kapunk egy bizonyos számmal ( a progresszió nevezőjével ) megszorozva. Ugyanakkor [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Leírás

A geometriai progresszió bármely tagja kiszámítható a képlet segítségével

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Ha és , a progresszió növekvő sorozat , ha , akkor csökkenő sorozat, és , esetén pedig váltakozó sorozat [2] , mert , stacionárius . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q=1$

A progresszió a nevét jellegzetes tulajdonságáról kapta :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

vagyis az egyes tagok modulusa megegyezik szomszédjai geometriai átlagával .

Példák

A négyzetek területeinek sorozata , ahol minden következő négyzetet az előző oldalainak felezőpontjainak összekapcsolásával kapunk, egy végtelen geometriai progresszió, melynek nevezője 1/2. Az egyes lépésekben kapott háromszögek területei is egy végtelen geometriai progressziót alkotnak 1/2 nevezővel, amelynek összege megegyezik a kezdeti négyzet területével [3] :8-9 .
A geometria a szemcsék számának sorrendje a sakktáblán lévő szemek problémájában .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024 , 2048 , 4096 , 8192 - geometriai progresszió tizenhárom tagból 2-es nevezővel.
ötven; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió 1/2 nevezővel.
négy; 6; A 9. ábra három elem geometriai progressziója 3/2-es nevezővel.
$\pi$ , , , stacionárius geometriai haladás 1-es nevezővel (és stacionárius aritmetikai sorozat 0 különbséggel). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; −6; 12; −24; 48; … egy váltakozó geometriai progresszió −2 nevezővel.
egy; −1; egy; −1; egy; … egy váltakozó geometriai progresszió −1 nevezővel.

Tulajdonságok

A geometriai progresszió nevezőjének képlete:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Bizonyíték

A geometriai progresszió definíciója szerint.

Egy geometriai sorozat tagjainak logaritmusai (ha definiáltak) egy aritmetikai sorozatot alkotnak .

Bizonyíték

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ A számtani sorozat közös tagjának képlete: . A mi esetünkben . $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\log(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ ha . $1<i<n$

Bizonyíték

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

A geometriai haladás első n tagjának szorzata a képlet segítségével számítható ki $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Bizonyíték

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Bővítsük ki a munkát : A kifejezés egy aritmetikai sorozat az 1. lépéssel. A progresszió első n tagjának összege ahol $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n) -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\jobbra)^{\frac {n}{2)).$

A k- adik taggal kezdődő és az n- edik taggal végződő geometriai haladás tagjainak szorzata a képlettel számítható ki. $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Bizonyíték

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)){\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Egy geometriai progresszió első tagjának összege $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Bizonyíték

Bizonyítás az összegen keresztül: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ Vagyis, ill $\sum _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\sum _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Ahol $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Bizonyítás indukcióval -on . $n$ Hadd $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Amikor nálunk van: $n=1$ $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ Amikor nálunk van: $n\jobbra n+1$ $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Egy csökkenő progresszió összes tagjának összege:

\left|q\right|<1

, majd a , és

b_{n}\to 0

n\to +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

at .

n\to +\infty

Bizonyíték

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Ha akkor at Ezért Ezért $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\to 0$ $n\to \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Geometriai progresszió archiválva : 2011. október 12. a Wayback Machine webhelyen a mathematics.ru oldalon
↑ Geometriai progresszió // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
↑ Rowe S. Geometriai gyakorlatok egy darab papírral . - 2. kiadás - Odessza: Mathesis, 1923.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)