Pearson eloszlás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Pearson-eloszlás egy folytonos valószínűségi eloszlás, amelynek valószínűségi sűrűsége egy differenciálegyenlet megoldása , ahol a számok az eloszlás paraméterei. [1] A Pearson-eloszlás speciális esetei a béta-eloszlás (I-es típusú Pearson-eloszlás), a gamma-eloszlás (III-as típusú Pearson-eloszlás), a Student-eloszlás (VII-es típusú Pearson-eloszlás), az exponenciális eloszlás (X-es típusú Pearson-eloszlás), a normál eloszlás (eloszlás Pearson XI típus). A Pearson-eloszlásokat széles körben használják a matematikai statisztikákban az empirikus adatok eloszlásának simítására. A kísérleti adatok valószínűségi eloszlásának numerikus módszerekkel történő közelítésére kiszámoljuk azok első négy momentumát, majd ezek alapján kiszámítjuk a Pearson-eloszlás paramétereit. [2] $\frac{df(x)}{dx}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}f( x)$ $a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}$

Tulajdonságok

A Pearson-eloszlásokat a valószínűségi változó első négy mozzanata teljesen meghatározza. Legyen egy Pearson-eloszlású valószínűségi változó központi momentuma . Aztán ha , akkor $\mu_{k}$ $k$ $a_{1}=1$

a_{0}=\frac{\mu_{3}(\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{0}=-\frac{\mu_{2}(4\mu_{2}\mu_{4}-3\mu_{3}^{2})}{A}

b_{1}=-\frac{\mu_{3}(4\mu_{2}\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{2}=-\frac{2 \mu_{2} \mu_{4} - 3\mu_{3}^{2} - 6 \mu_{2}^{3}}{A}

ahol . [egy] $A = 10 \mu_{4} \mu_{2} - 18 \mu_{2}^{3} - 12 \mu_{3}^{2}$

Pearson disztribúciók típusai

A négyzetes trinomiális gyökeinek eloszlásától függően 12 típusú Pearson-eloszlást különböztetünk meg. Jelöljük , . [egy] $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}$ $D = b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}$ $\lambda = \frac{b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}$

Beírom a

Az I. típusú Pearson disztribúciók béta disztribúciók. Feltételek: , , , Valószínűségi sűrűség: , ahol , . [egy] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(-\beta+x)b_{2}$ $\alpha ,\beta >0$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha^{2m}\beta^{2n}}{(\alpha+\beta)^{m+n+1}B(m+1, n+1 )}(\alpha+x)^{m}(\beta - x)^{n}, & x \in [ -\alpha, \beta ] \\ 0, & x \notin [ -\alpha, \beta ]\end{cases}$ $B(m+1, n+1) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}$ $m > -1, n > -1$

II típusú

Feltételek, mint az I. típusnál, további feltételekkel . [egy] $\alpha = \beta, m = n$

III. típus

A III-as típusú Pearson-eloszlások gamma-eloszlások. Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: . [egy] $D<0$ $\lambda = \infty$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = 2(\alpha+x)b_{1}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{k^{m+1}}{\Gamma(m+1)}(\alpha+x)^{m}e^{-k(\alpha+x )}, &x > -\alpha, k > 0 \\ 0, &x \leqslant -\alpha \end{cases}$

IV típus

Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: , , , ahol . [3] $D>0$ $0 < \lambda < 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)=c(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{x}{\alpha))}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$ $c^{-1}=\int_{-\infty}^{\infty}(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{ x}{\alpha}}}dx$

V típusú

Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: . [3] $D=0$ $\lambda=1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)^{2}b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\gamma^{m-1}}{\Gamma{m-1}}x^{-m}e^{-\frac{\gamma}{x} }, & \gamma > 0, m > 1, x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

VI típusú

Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: . [3] $D<0$ $\lambda > 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(x-\beta)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{(\alpha+\beta)^{-(m+n+1)}}{B(-mn-1, n+1)}(x+\alpha)^ {m}(x-\beta)^{n}, & x > \beta, m - 1> 0, n > -1 \\ 0, & x \leqslant \beta \end{cases}$

VII. típus

A VII típusú Pearson-eloszlás Student-féle eloszlás. Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: , , . [3] $D>0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}))) } (\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$

VIII. típus

Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], - 1 < m < 0 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

IX. típus

Feltételek: , , . Valószínűségi sűrűség: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], m < -1 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

X típus

A Pearson X típusú eloszlás az exponenciális eloszlás. Feltételek: , , , . Valószínűségi sűrűség: [2] $D=0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $a_{1} = 0$ $f(x)=\begin{cases} \gamma e^{-\gamma x}, & x > 0, \gamma > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

XI típusú

A Pearson XI típusú eloszlás a normál eloszlás. Feltételek: , határozatlan ideig, . Valószínűségi sűrűség: . [2] $D=0$ $\lambda$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x \in ( - \infty, \infty )$

XII típusú

Feltételek, mint az I. típusnál, további feltételekkel . [egy] $\alpha = \beta, m = -n$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Korolyuk, 1985 , p. 133.
↑ 1 2 3 Korolyuk, 1985 , p. 135.
↑ 1 2 3 4 5 6 Korolyuk, 1985 , p. 134.

Irodalom

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika kézikönyve. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Valószínűségi eloszlások
Diszkrét	Bernoulli Binomiális Geometriai hipergeometrikus Logaritmikus Negatív binomiális Poisson Diszkrét egyenruha Multinomiális
Abszolút folyamatos	Beta Weibulla Gamma- hiperexponenciális Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormális Normál (Gauss) Logisztikai Nakagami Pareto Pearson félkör alakú folyamatos egyenruha Rizs Rayleigh Diák Tracey – Vidoma Halász Khi-négyzet Exponenciális Variancia-gamma Többváltozós normál kapcsolószó