Megosztott különbség

Az osztott különbség a derivált fogalmának általánosítása egy diszkrét ponthalmazra.

Definíció

Legyen egy függvény definiálva egy (összekapcsolt) halmazon , és rögzítsünk páronként különálló pontokat $f$ $x,$ $x_{0},\;\ldots ,\;x_{n}\in X.$

Ekkor az értéket a függvény nulla rendjének osztott különbségének nevezzük a pontban , és a pontrendszer osztott rendű különbségét az osztott sorrendű különbségeken keresztül határozzuk meg a képlet szerint. $f$ $x_{j}$ $f(x_{j}),$ $k$ $(x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots ,\;x_{j+k})$ $(k-1)$

f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f (x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1}; \;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},

különösen,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0))} ,

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0} ;\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2 }-x_{1))}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0)))){x_{2}-x_{ 0}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1}; \;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1}) }{x_{n}-x_{0}}}.

Tulajdonságok

Az osztott különbségre a képlet igaz

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{ j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i))}}),

különösen,

f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0))}+{\frac {f(x_) {0})}{x_{0}-x_{1}}},

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})( x_{2}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}} +{\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.

A megosztott különbség az argumentumainak szimmetrikus függvénye , vagyis azok bármilyen permutációja nem változtatja meg az értékét, különösen

f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_ {2};\;x_{1};\;x_{0}),

f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{ n-1};\;\ldots ;\;x_{1};\;x_{0}).

Rögzített pontrendszerrel az osztott különbség lineáris funkcionális , azaz függvényekre és és skalárokra és : $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$ $f$ $g$ $a$ $b$

(a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\; x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n}).

Alkalmazás

Az osztott differenciák segítségével a csomópontok függvényei Newton „előre” interpolációs polinomjaként írhatók fel : $f$ $(x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})$

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{ 0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f (x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=\\&=&f(x_ {0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{) 0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n })\ldots\right)\right),\end{array}}

így a Newton-féle interpolációs polinom is "visszafelé":

{\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x- x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n- 1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=\ \&=&f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1} )\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n };\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).\end{tömb}}

Előnyök:

az osztott különbségek kiszámításához műveletekre (osztásokra) van szükség, ami kevesebb, mint más algoritmusokban; ${\megjelenítési stílus (n+2)(n+1)/2=O(n^{2})}$
kiszámíthatja az interpolációs polinom értékeit a Horner-séma szerint műveletekhez (szorzásokhoz); $Tovább)$
tárolást igényel a csomópont és a különbség, és a különbségek tárolhatók (fogadhatók) ugyanazokban a cellákban, ahol az értékeket beállították ; $(n+1)$ $(n+1)$ $f(x_{k})$
a Lagrange interpolációs polinomhoz képest egy új csomópont hozzáadása leegyszerűsödik.

Használata

\left\{{\begin{array}{rcl}\omega _{j}(x)&=&(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1 })=\prod \limits _{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega _{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1} ),\;j>0,\\\omega _{0}(x)&=&1\end{array}}\right.

A képletek közül az első így írható fel

L_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{j})\cdot \omega _{j} (x).

A Newton-polinom használatával az osztott különbségek determinánsok arányaként a következő ábrázolása is elérhető :

f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n- 1}&f(x_{0})\\\vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok &\vpontok \\1&x_{n}&\lpontok &x_{n}^{n-1}&f(x_{n} )\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n}\end{array}}\right |}}.

Történelem

Newton osztott különbségeket használt az általános interpolációs képletében (lásd fent), de úgy tűnik, a kifejezést O. de Morgan vezette be 1848-ban [1] .

Példa

Az alábbi képen látható egy példa a megosztott különbségek kiszámítására

{\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{i}&=&i,\;i=0, \ldots ,n,\\n&=&5.\end{array}}

Lásd még

Linkek

Hermite interpoláció osztott különbségek felhasználásával.

Irodalom

Bakhvalov N. S. , Zhidkov N. P. , Kobelkov G. M. Numerikus módszerek. - 3. kiadás, add. és átdolgozták. — M. : BINOM. Tudáslaboratórium, 2004. - 636 p., ill. — ISBN 5-94774-175-X .
Korn G. (Granino A. Korn, Ph.D.), Korn T. (Theresa M. Korn, MS) Matematikai kézikönyv tudósoknak és mérnököknek ( Eng. Mathematical handbook for science and engineers, 1968 ). - M . : Nauka, 1973. - 832 p., ill.

Jegyzetek

↑ Véges különbségek. Archiválva : 2010. augusztus 12. a Wayback Machine -nél az Encyclopedia Around the World- ben