Numerikus differenciálási képletek együtthatói

A matematikában egy adott táblázatos függvény deriváltjainak közelítő kiszámításához egy megfelelő együtthatókészlet segítségével kereshetünk a deriváltak értékeinek kifejezését a függvény ismert értékein keresztül . Ehhez különféle interpolációs képleteket vagy határozatlan együtthatók módszerét használhatja .

Egyenlő távolságú csomók

Legyen egy pont, ahol ki kell számítani egy kellően sima függvény deriváltjait , legyen egy lépéssel egyenlő távolságra lévő csomópontok rácsja, és ismertek a függvény értékei ezeken a csomópontokon. Ebben az esetben a numerikus differenciálási képletek közvetlenül függvényértékekkel fejezhetők ki a Lagrange-féle interpolációs képlet segítségével . Az ilyen képleteket nem-különbség képleteknek is nevezik, mivel nem szükséges véges vagy osztott különbségek kiszámítása [1] . $x_{0}$ $f$ $x_{k}=x_{0}+kh$ $h$ $f$ $f$

Attól függően, hogy a pont hol helyezkedik el a csomópontok rácsában (balra, jobbra vagy középre), az "előre", "hátra" és szimmetrikus együtthatókat különítjük el. $x_{0}$

Szimmetrikus együtthatók

A szimmetrikus együtthatók eléréséhez a rács csomópontjainak számának páratlannak kell lennie. Ekkor a közelítési hiba sorrendje páros szám lesz.

Származékos sorrend	A hiba sorrendje	−5	−4	−3	−2	−1	0	egy	2	3	négy	5
egy	2					−1/2	0	1/2
	négy				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	nyolc		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					egy	−2	egy
	négy				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	nyolc		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	egy	0	−1	1/2
	négy			1/8	−1	13/8	0	−13/8	egy	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
négy	2				egy	−4	6	−4	egy
	négy			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	négy		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			egy	−6	tizenöt	−20	tizenöt	−6	egy
	négy		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Például a másodrendű hibával rendelkező harmadik derivált a következőképpen számítja ki

f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_ {+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right)~.

Odds előre

Származékos sorrend	A hiba sorrendje	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc
egy	egy	−1	egy
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	négy	−25/12	négy	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	egy	egy	−2	egy
	2	2	−5	négy	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	négy	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	egy	−1	3	−3	egy
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	négy	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
négy	egy	egy	−4	6	−4	egy
	2	3	−14	26	−24	tizenegy	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	négy	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Például a harmadrendű hibás első derivált és a másodrendű hibás második derivált a következőképpen kerül kiszámításra

f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3} {2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~ ,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3} )}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.

Könnyen belátható, hogy az elsőrendű hiba együtthatói változó előjelű binomiális együtthatók , ami megfelel a növekvő véges különbségek általános képletének .

Odds vissza

Az együtthatók visszaszerzéséhez meg kell fordítani az együtthatók előjeleit a páratlan sorrendű deriváltoknál, és tükrözni kell az együtthatók táblázatát jobbról balra:

Származékos sorrend	A hiba sorrendje	−5	−4	−3	−2	−1	0
egy	egy					−1	egy
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	egy				egy	−2	egy
2	2			−1	négy	−5	2
3	egy			−1	3	−3	egy
3	2		3/2	−7	12	−9	5/2
négy	egy		egy	−4	6	−4	egy
négy	2	−2	tizenegy	−24	26	−14	3

Például a harmadrendű hibás első derivált és a másodrendű hibás második derivált a következőképpen kerül kiszámításra

f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{ 2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3} )}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.

Csomópontok tetszőleges rácsa

Az önkényesen elhelyezkedő csomópontok együtthatóinak meghatározásához célszerű a határozatlan együtthatók módszerét használni [2] . Ehhez a sorrend kívánt deriváltjának értékét a pontban így írjuk fel ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N))$ $k$ $x_{j}$

f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,

ahol

c_{i}

- ismeretlen együtthatók,

R

az interpoláció maradéka.

Az együtthatók a , , ,..., függvényekre teljesítendő feltételből kerülnek kiválasztásra . Kiderül, hogy a következő lineáris egyenletrendszer : $c_{i}$ $R(f)=0$ $egy$ $x$ $x^{2}$ $x^N$

\left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{ k}&\lpontok &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\lpontok &x_{N}^{k+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right )\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\ \\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k +1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{Nk}\end{array}}\right)~.

Ebben az esetben a számítási hiba nagyságrendileg . $N-k+1$

A rendszer mátrixa a Vandermonde-mátrix , amely a polinomok általi interpoláció általános problémájának megoldása során is felmerül .

Jegyzetek

↑ Berezin, Zsidkov, 1962 , p. 230.
↑ Berezin, Zsidkov, 1962 , p. 234.

Irodalom

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Számítási módszerek. - 2. kiadás -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Orosz)
Fornberg, B. Véges különbségi képletek generálása tetszőleges térközű rácsokon // A számítás matematikája. - 1988. -1. évf. 51. -P. 699-706. -doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0.

Linkek

Együttható-kalkulátor a csomópontok tetszőleges rácsához (numerikusan)

Lásd még

Véges különbség módszer