A meghatározatlan együtthatók módszere

A határozatlan együtthatók módszere egy olyan módszer, amelyet a matematikában használnak, hogy megtalálják a kívánt függvényt , mint az alapfüggvények véges vagy végtelen halmazának pontos vagy közelítő lineáris kombinációját . A megadott lineáris kombinációt ismeretlen együtthatókkal veszik fel, amelyeket így vagy úgy határoznak meg a vizsgált probléma feltételeiből. Általában egy algebrai egyenletrendszert kapunk rájuk .

Alkalmazások

Az alábbiakban felsoroljuk azokat a problémákat, amelyeket a határozatlan együtthatók módszerével oldanak meg. A bennük lévő egyenletrendszert úgy kapjuk meg, hogy egyenlő polinomokban azonos hatványú együtthatókat egyenlítünk ki.

Egy tört felbontása legegyszerűbbre

Klasszikus példa a határozatlan együtthatók módszerének alkalmazására egy komplex vagy valós tartomány megfelelő racionális törtjének egyszerű törtekre bontása .

Legyen és komplex együtthatójú polinomok , és a polinom foka kisebb, mint a polinom fokszáma . Feltételezzük, hogy a polinom foka , a polinom vezető tagjának együtthatója 1, és , a polinom különböző gyökei multiplicitásokkal , rendre. Ezért van $P$ $K$ $P$ $K$ $K$ $n$ $K$ $z_{k}$ $k\leq n$ $K$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

A függvény reprezentálható, ráadásul egyedi módon, egyszerű törtek összegeként $P/Q$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

ahol még ismeretlen komplex számok vannak (számuk egyenlő ). Megtalálásukhoz az egyenlőség mindkét részét közös nevezőre redukáljuk. A hasonló tagok jobb oldalán történő elutasítása és redukálása után egyenlőséget kapunk, amely lineáris egyenletrendszerré redukálódik a -hoz képest . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Megjegyzés . Az együtthatók megtalálása leegyszerűsödik, ha csak nem többszörös gyöke van , , azaz. mindent és $K$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

Az utolsó egyenlőséggel való szorzás és behelyettesítés után közvetlenül megkapjuk a megfelelő együttható értékét ${\displaystyle z-z_{k))$ ${\displaystyle z=z_{k))$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integráció

A racionális függvény határozatlan integráljának kiszámításakor a határozatlan együtthatók módszerét használják, amikor egy törtet a legegyszerűbbek összegére bontanak, a fent leírtak szerint, valamint az Ostrogradsky-módszert , amelyet akkor használnak, ha egy tört nevezőjének gyökei. nagy sokaságuk van. Az űrlap irracionalitásainak integrálásakor is használatos

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))},$

ahol egy n fokú polinom. Akkor $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

Ezen egyenlőség differenciálása, az egyenletrendszer megoldása után határozza meg az n-1 fokú polinom határozatlan együtthatóit, valamint [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

Sorozat inverzió

Ha egy függvényt , amely nem egyenlő nullával at , kibővítünk egy Maclaurin sorozatban : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

akkor van egy ellentétes függvényű Maclaurin sorozat:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Ennek a sorozatnak az együtthatói e két egyenlőség szorzásával és a meghatározatlan együtthatók módszerének alkalmazásával határozhatók meg. Egy végtelen háromszög alakú lineáris egyenletrendszert kapunk, amelyből egymás után megtaláljuk a szükséges együtthatókat.

Hasonló, de körülményesebb módon megtalálhatja az inverz függvénysor együtthatóit :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

Ebben az esetben a hányadost használjuk , azaz a teljes sorozatot behelyettesítjük a sorozatba . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $x$ $g(x)$

Hatványok összege

Konkrét példaként említhetjük a k-edik fokú képlet megtalálásának problémáját: . A választ a -edik fokú polinom formájában fogjuk keresni . Ennek a polinomnak az együtthatóit a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg. $\sum _{i=0}^{n}i^{k}$ $k+1$ $n$

Példa . Az űrlapon keresek . $\sum _{i=0}^{n}i^{3}$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Értelemszerűen , valamint . Ha a polinomot redukált formában helyettesítjük, és az együtthatókat azonos hatványokon egyenlővé tesszük, egy rendszert kapunk azok meghatározására: ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3))$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\end{cases}},

ahol megkapjuk a választ: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Egy inhomogén differenciálegyenlet konkrét megoldásának megtalálása

Bizonyos értelemben ez az alkalmazás az előző általánosítása - ebben az esetben a differenciaegyenlet megoldását keresték, de itt az egyenlet megoldását keresik . ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3))$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

Általában a határozatlan együtthatók módszerét alkalmazzák olyan esetekben, amikor a jobb oldal egy algebrai vagy trigonometrikus polinom.

Jegyzetek

↑ Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés. - M . : Felsőiskola , 1970. - T. 1. - S. 369-370. — 50.000 példány.

Linkek

Érdekes példák: frakcióbontás