Lineáris algebrai egyenletrendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 9-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

A lineáris algebrai egyenletrendszer ( lineáris rendszer , SLAE , SLUE rövidítések is használatosak ) egy olyan egyenletrendszer, amelyben minden egyenlet egy elsőfokú lineáris - algebrai egyenlet .

A klasszikus változatban a változók, szabad kifejezések és ismeretlenek együtthatóit valós számoknak tekintjük , de minden módszert és eredményt megőrzünk (vagy természetesen általánosítunk) bármely mezőre , például komplex számokra .

A lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a lineáris algebra egyik klasszikus problémája , amely nagymértékben meghatározta tárgyait és módszereit. Emellett a lineáris algebrai egyenletek és a megoldásukra szolgáló módszerek fontos szerepet játszanak számos alkalmazott területen, beleértve a lineáris programozást , az ökonometriát .

Általánosítható ismeretlenek végtelen halmazának esetére .

Konvenciók és meghatározások

A lineáris algebrai egyenletrendszer általános képe:

{\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_ {1}+a_{22}x_{2}+\pontok +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\pontok \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{ 2}+\pontok +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}

Itt van az egyenletek száma, és a változók száma, a meghatározandó ismeretlenek száma, az együtthatók és a szabad tagok ismertnek tételezhetők fel. A lineáris egyenletrendszerek együtthatóindexeit ( ) a következő konvenció szerint alakítjuk ki: az első index ( ) az egyenlet számát jelöli, a második ( ) annak a változónak a száma, amelyen ez az együttható áll [1] . $m$ $n$ $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{m))$ $a_{{ij}}$ $én$ $j$

Egy rendszert homogénnek nevezünk, ha minden szabad tagja nulla ( ), ellenkező esetben heterogén . $b_{1}=b_{2}=\dots =b_{m}=0$

A másodfokú lineáris egyenletrendszer olyan rendszer, amelyben az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával (). Az olyan rendszer, amelyben az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma, alulhatározott , az ilyen lineáris algebrai egyenletrendszereket négyszögletesnek is nevezik . Ha több egyenlet van, mint ismeretlen, akkor a rendszer túldefiniált . $m=n$

A lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása olyan számok halmaza , amelyeknek megfelelő helyettesítése a rendszer helyett az összes egyenletét azonossággá alakítja . $n$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n))$ $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$

Egy rendszert kompatibilisnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása. A megoldásokat akkor tekintjük eltérőnek, ha a változók legalább egyik értéke nem egyezik. Az egyetlen megoldású közös rendszert határozottnak nevezzük , ha egynél több megoldás van alulhatározott .

Mátrix forma

A lineáris algebrai egyenletrendszer mátrix formában a következőképpen ábrázolható :

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

vagy:

ax = b

Itt van a rendszer mátrixa, az ismeretlenek oszlopa és a szabad kifejezések oszlopa. Ha a jobb oldali mátrixhoz szabad kifejezések oszlopa van hozzárendelve, akkor a kapott mátrixot kiterjesztettnek nevezzük. $A$ $x$ $b$ $A$

A Kronecker-Capelli tétel a lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitásának szükséges és elégséges feltételét támasztja meg a mátrixreprezentációk tulajdonságain keresztül: a rendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha mátrixának rangja egybeesik a kiterjesztett mátrix rangjával.

Egyenértékű lineáris egyenletrendszerek

A lineáris egyenletrendszereket akkor nevezzük ekvivalensnek , ha megoldásaik halmaza megegyezik, vagyis az egyik rendszer bármely megoldása egy másik rendszer megoldása is, és fordítva. Azt is feltételezzük, hogy a megoldások nélküli rendszerek egyenértékűek.

Egy adott rendszerrel ekvivalens rendszert kaphatunk, ha az egyik egyenletet lecseréljük ezzel az egyenlettel, megszorozva bármely nullától eltérő számmal. Egyenértékű rendszert kaphatunk úgy is, hogy az egyik egyenletet ennek az egyenletnek az összegével helyettesítjük a rendszer egy másik egyenletével. Általánosságban elmondható, hogy egy rendszer egyenletének lineáris egyenletkombinációval való helyettesítése az eredetivel egyenértékű rendszert eredményez.

A lineáris algebrai egyenletrendszer ekvivalens azzal a rendszerrel , ahol egy nem szinguláris mátrix . Különösen, ha maga a mátrix nem szinguláris, és létezik rá egy inverz mátrix , akkor az egyenletrendszer megoldása formálisan így írható fel . $A\mathbf {x} \ =\mathbf {b}$ $CA\mathbf {x} \ =C\mathbf {b}$ $C$ $A$ $A^{-1}$ $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$

Megoldási módszerek

A direkt módszerek olyan algoritmust adnak, amellyel meg lehet találni a lineáris algebrai egyenletrendszerek pontos megoldását. Az iteratív módszerek egy iteratív folyamat alkalmazásán alapulnak, és lehetővé teszik a megoldást az egymást követő közelítések eredményeként.

Néhány közvetlen módszer:

Gauss módszer
Gauss-Jordan módszer
Cramer módszer
Mátrix módszer
Sweep módszer ( háromszögű mátrixokhoz )
Cholesky-felbontás vagy négyzetgyök módszer ( pozitív-definit szimmetrikus és hermitikus mátrixokhoz)

Az iteratív módszerek egy eljárást hoznak létre a megoldás egy bizonyos kezdeti közelítésének finomítására. Ha a konvergencia feltételek teljesülnek, lehetővé teszik, hogy az iterációk megismétlésével bármilyen pontosságot elérjünk. Ezeknek a módszereknek az az előnye, hogy gyakran gyorsabban érnek el egy előre meghatározott pontosságú megoldást, és lehetővé teszik nagy egyenletrendszerek megoldását is. Ezeknek a módszereknek a lényege a mátrixegyenlet fix pontjának megtalálása

{\displaystyle \mathbf {x} =A^{\prime }\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\prime ))

ekvivalens a kezdeti lineáris algebrai egyenletrendszerrel. Amikor az egyenlet jobb oldalán iterálunk, például a Jacobi-módszerben (egyszerű iterációs módszer) az előző lépésben talált közelítést lecseréljük: $\mathbf {x}$

{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=A^{\prime }\mathbf {x} _{n}+\mathbf {b} ^{\prime ))

Az iteratív módszerek az alkalmazott megközelítéstől függően több típusra oszthatók:

Megosztott alapú: $(MN)\mathbf {x} =\mathbf {b} \Leftrightarrow M\mathbf {x} =N\mathbf {x} +\mathbf {b} \Rightarrow M\mathbf {x} ^{n+ 1 }=N\mathbf {x} ^{n}+\mathbf {b}$
Változat típusa: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow \|A\mathbf {x} -\mathbf {b} \|\rightarrow \min$
Vetítés típusa: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \Rightarrow (A\mathbf {x} ,\mathbf {m} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {m} )\forall \mathbf { m}$

Az iteratív módszerek közül:

Jacobi- módszer ( egyszerű iterációs módszer )
Gauss-Seidel módszer
Relaxációs módszer
Multigrid módszer
Montante módszer
Abramov-módszer (kis SLAE-k megoldására alkalmas)
Általánosított minimális maradékok módszere
Bikonjugált gradiens módszer
Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Bikonjugált gradiensek kvadratikus módszere
Kvázi-minimális maradékok módszere ( QMR )
Forgatási módszer [2]

Jegyzetek

↑ Iljin V. A., Poznyak E. G. Lineáris algebra: Tankönyv egyetemeknek. - 6. kiadás, törölve. — M.: Fizmatlit, 2004. — 280 p.
↑ Verzsbitszkij V. M. A numerikus módszerek alapjai. - M . : Felsőiskola , 2009. - S. 80-84. — 840 p. — ISBN 9785060061239 .

Linkek

Kuksenko SP, Gazizov TR Iteratív módszerek sűrű mátrixú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldására. - Tomszk: Tomszki Állami Egyetem , 2007. - 208 p. - ISBN 5-94621-226-5 .
Forsythe J., Moler K. Lineáris algebrai egyenletrendszerek numerikus megoldása. - Moszkva: Mir , 1969. - 166 p.

Az SLAE megoldásának módszerei
Közvetlen módszerek	Mátrix módszer Gauss módszer Gauss-Jordan módszer Cramer módszer LU bomlás Cholesky-bomlás Sweep módszer
Iteratív módszerek	Jacobi módszer Gauss-Seidel módszer Iterációs módszer Relaxációs módszer Konjugált gradiens módszer Bikonjugált gradiens módszer Stabilizált bikonjugátum gradiens módszer
Tábornok	inverz mátrix Vetítési módszerek SLAE megoldására Előkondicionálás

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb