Ortogonális alap

Az ortogonális (ortonormális) bázis egy lineáris tér elemeinek ortogonális ( ortonormális ) rendszere skaláris szorzattal , amelynek teljességi tulajdonsága van .

Véges dimenziós eset

Az ortogonális bázis páronkénti ortogonális vektorokból álló bázis . Az ortonormális alap kielégíti az összes eleme normaegységének feltételét is. Azaz egy ortogonális bázis normalizált elemekkel.

Ez utóbbi kényelmesen a Kronecker szimbólummal írható :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

azaz az egyes bázisvektorpárok pontszorzata nulla, ha nem azonosak ( ), és egyenlő eggyel, ha az index azonos, vagyis ha bármely bázisvektor önmagával alkotott pontszorzatát felvesszük . $i\neq j$

Sok mindent sokkal könnyebben írnak le ortogonális alapon, mint egy tetszőlegesen, ezért nagyon gyakran csak ilyen bázisokat próbálnak használni, ha lehetséges, vagy valamilyen speciális nem ortogonális alap használata nem ad speciális speciális kényelmi szolgáltatások. Vagy ha általánosság okokból nem mondanak le róla egy általános formai alap javára.

Az ortonormális alap önkettős ( kettős alapja egybeesik önmagával). Ezért lehet, hogy nem teszünk különbséget benne felső és alsó indexek között, és mondjuk csak alsó indexeket használunk (mint általában, kivéve persze, ha ebben az esetben csak ortonormális alapokat használunk).

A lineáris függetlenség az ortogonalitásból következik, azaz egy ortogonális vektorrendszer esetén automatikusan megvalósul.

Egy vektor kiterjesztésének együtthatói ortogonális alapon:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

így lehet megtalálni:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}}) }}.

Egy ortonormális vektorrendszer teljessége ekvivalens Parseval-egyenlőséggel : bármely vektor esetében a vektor normájának négyzete egyenlő a bázisban lévő kiterjesztési együtthatói négyzetösszegével: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Hasonló összefüggések érvényesek a végtelen dimenziós esetre is (lásd alább).

Végtelen dimenziós eset

Az ortogonális bázis egy Hilbert-tér páronkénti ortogonális elemeinek rendszere úgy, hogy bármely elem egyedileg ábrázolható normakonvergáló sorozatként. $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $x$ $x\X-ben$

x=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

a rendszer egy elemének Fourier sorozatának nevezzük . $x$ $\{e_{n}\}$

Az alapot gyakran úgy választják ki, hogy , majd ortonormális bázisnak nevezik . Ebben az esetben a számok , amelyeket egy elem Fourier-együtthatóinak neveznek ortonormális alapon , a következő alakúak: $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $a_n$ $x$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

Ahhoz, hogy egy ortonormális rendszer alap legyen, szükséges és elégséges feltétele a Parseval -féle egyenlőség . $\{e_{n}\}$

Az ortonormális alappal rendelkező Hilbert-tér szeparálható , és fordítva, minden szeparálható Hilbert-térnek van ortonormális alapja.

Ha egy tetszőleges számrendszert úgy adunk meg , hogy egy ortonormális bázisú Hilbert-tér esetén a sorozat - normában konvergál valamilyen elemhez . Ez megállapítja bármely elkülöníthető Hilbert-tér és tér izomorfizmusát ( Riesz -Fischer-tétel). $\{a_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\X-ben$ $l_{2}$

Példák

Az R n n-dimenziós euklideszi tér standard bázisa ortonormális. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

A halmaz ortonormális alapot képez ben . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Irodalom

Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról, Moszkva: Nauka, 1971.
Moren K. Hilbert térmódszerek. M.: Mir, 1965.

Lásd még

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb