Axiális vektor

Az axiális vektor vagy pszeudovektor egy olyan mennyiség, amelynek összetevői egy közönséges (igaz) vektor komponenseiként alakulnak át a koordinátarendszer elforgatásakor , de az előjelüket ellentétes módon változtatják meg azzal, ahogyan a vektorkomponensek viselkednek a koordináták tetszőleges inverziójával (előjelfordításával). megváltoztatja az alap orientációját (háromdimenziós térben jobbról balra vagy fordítva; ilyen transzformáció lehet például tükörkép, legegyszerűbb esetben egy koordinátatengely tükörképe). [1] Ez azt jelenti, hogy a pszeudovektor megfordítja az irányt, miközben megtartja az abszolút értéket ("-1"-gyel szorozva) a koordinátarendszer bármely ilyen inverziójához.

A grafikusan ábrázolt pszeudovektor ilyen koordinátaváltozással az ellenkező irányt változtatja.

Annak érdekében, hogy hangsúlyozzuk a különbséget a valós vektorok között, amelyek koordinátáit mindig ugyanúgy transzformáljuk, mint az eltolási vektor koordinátáit, a valós vektort valódi vagy poláris vektornak nevezzük .

A háromdimenziós térben a tengelyirányú vektor legegyszerűbb példája két poláris vektor keresztszorzata , például a mechanikában  - impulzusnyomaték és erőnyomaték , négydimenziós térben  - tengelyirányú áram .

A külső algebra keretein belül egy pszeudovektort egy (n-1)-vektor ábrázol egy n-dimenziós térben. A geometriailag egyszerű (n-1)-vektor egy orientált altér, amely merőleges valamely tengelyre. Így a háromdimenziós térben egy pszeudovektor egy bivektor , amely viszont orientált síkként ábrázolható.

Alapvető információk

A koordináták transzformációja során az axiális vektor koordinátáit a valódi (más néven poláris) vektorok koordinátatranszformációjához képest további tényezővel (-1) megszorozzuk, ha a bázis orientációt változtat (például ha a bázist tükrözik visszaverődés). Így az axiális vektor a pszeudoskalárishoz hasonlóan a pszeudotenzor speciális esete . A grafikusan ábrázolt pszeudovektor ilyen koordinátaváltozással az ellenkező irányt változtatja.

• A geometriában a pszeudovektorok legáltalánosabb használata az lehet, hogy segítségével háromdimenziós infinitezimális forgást ábrázolnak . Valószínűleg (?), az axiális vektor kifejezés pontosan innen származik, hiszen az pszeudovektor határozza meg a forgástengelyt (az irányát), de csak egy tényezőig (±1), a forgásirányhoz feltételes tetszőleges választás tartozik. a matematika szempontjából megfelelő alap. [2] Ellentétben a valódi (poláris) vektorral, amely egy irányított szakaszt (vagy párhuzamos fordítást ) reprezentál, egészen határozottan és egyértelműen a kezdő- és végpontok által adott.
• A mechanikában - a kinematikában - az infinitezimális forgás fent említett ábrázolásával közvetlenül összefüggésben - a leggyakoribb pszeudovektor mennyiség a szögsebességvektor . A valódi sebességvektort a szögsebesség pszeudovektorából kapjuk meg pszeudovektoros művelettel . A statikában és a dinamikában ezek mindenekelőtt a fent említett erő- és impulzusnyomaték.

A pszeudovektorok generálásának szokásos módja a pszeudovektor műveletek, a leggyakoribb, ha nem az egyetlen háromdimenziós esetben a vektorszorzat (mivel a szokásos koordináta-jelölésben a Levi-Civita pszeudotenzort is tartalmazza ) és a vektorszorzatot tartalmazó műveletek (például rotor , stb.) n.) [3] vagy ezek páratlan száma. A pszeudovektor művelet pszeudovektorokat és pszeudokalárokat állít elő valódi vektorokból és skalárokból.

Tehát ha egy valódi vektort megszorozunk egy valódi vektorral, akkor a skalárszorzatban valódi skalárt, a vektorszorzatban pedig egy pszeudovektort kapunk. Ha egy valódi vektort megszorozunk egy pszeudovektorral, akkor a skalárszorzatban pszeudoszkalárt, a vektorszorzatban pedig egy valódi vektort kapunk. Ha két pszeudovektort megszorozunk, a skalárszorzatban egy valódi skalárt, a vektorszorzatban pedig egy pszeudovektort kapunk.

A fizikai elméletekben, kivéve azokat, amelyekben a tér tükörszimmetriájának kifejezett és elvileg megfigyelhető megsértése van, a pszeudovektorok a köztes értékekben is jelen lehetnek, de a véges, megfigyelhető faktorokban a (-1) tükörreflexió esetén a koordinátákat meg kell semmisíteni, ami páros számú szorzatban fordul elő (páros számú pszeudovektor + pszeudoskaláris + egyéb pszeudotenzor faktor).

• Például a klasszikus elektrodinamikában a mágneses tér indukciója  pszeudovektor, mivel pszeudovektor művelettel jön létre, például a Biot-Savart törvényben , de ez az érték (pszeudovektor) elvileg egy feltételes tényezőig van definiálva. , amely +1 vagy −1 választható. A ténylegesen megfigyelt érték - a töltés gyorsulása mágneses tér hatására - azonban számításában még egy pszeudovektor-műveletet tartalmaz a Lorentz-erő kifejezésében , amely még egy feltételes tényezőt ad ±1, amely megegyezik az elsővel. , míg az önkényesség eltűnik a válaszból, hiszen a ±1 (±1) szorzat csak 1-et ad.

Lásd még

• Szimmetria
• Skalár

Jegyzetek

1. ↑ Bázisvektorok transzformációjáról beszélünk negatív determinánsú transzformációs mátrixszal. Ez egy fontos pont a dolog lényegének megértéséhez, mivel például az összes koordináta előjelének megváltoztatásakor a transzformáció egyenértékű egy elforgatással (180 °-kal), és nem változtatja meg az alap orientációját, ill. , és az ilyen koordináta-transzformációval rendelkező pszeudovektor ugyanúgy transzformálódik, mint egy valódi vektor, nem változtat előjelet hozzá képest.
2. ↑ Ez azt jelenti, hogy matematikai szempontból a jobb bázis megkülönböztethetetlen a baltól (míg a fizika szempontjából a valós fizikai világban találhatunk eltéréseket - matematikai szempontból azonban ez A valós fizikai világot nem különítik el a hipotetikus anti-világgal kapcsolatban tükörtükrözéssel, így ha az egyiket másikra cserélnénk, egyszerűen nem vennénk észre semmit. Ugyanez vonatkozik a megfelelő alapnak a biológiai aszimmetriához (a szívhez) való kapcsolására is. a legtöbb embernél a bal oldalon van, a legtöbb jobbkezes, stb. Így a matematikai nézőpont arra vezethető vissza, hogy eleinte kiemelünk valamilyen alapot, úgymond önkényesen, feltételesen jobbnak nevezve, majd az összes más bázisok jobbra és balra sorolhatók a tekintetben.
3. ↑ Egyes esetekben az ilyen műveletek definíciói implicit módon tartalmazzák a vektorszorzat műveletet, de formális jelenléte általában könnyen észlelhető, ha újrafogalmazzuk. És természetesen lehetőség van annak pszeudovektor jellegének közvetlen bemutatására, a vektorszorzat fogalmának bevonása nélkül.