Multivektor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzésekhez 10 szerkesztés szükséges .

A multivektor a külső algebra egyik eleme , amely polivektorok (vektorok, bivektorok, trivektorok stb.) összege.

Bármely polivektor (k-vektor) ábrázolható k-lapátok (egyszerű k-vektorok) összegeként, ahol minden k-lapát felbontható k vektor külső szorzatára.

A 2-lapát geometriailag ábrázolható orientált síkként bármilyen méretű térben, és felhasználható a benne lévő forgás ábrázolására.

Az n-dimenziós térben lévő n-vektort pszeudoszkalárisnak , míg az (n-1)-vektort pszeudovektornak nevezzük . Tehát a háromdimenziós tér pszeudovektora tetszőleges bivektor.

Az 1-vektor és a skalár összegét paravektornak is nevezik .

A k-vektor duális és k-alakú .

Tulajdonságok:

Bármely lineárisan független vektorrendszer definiál egy nem nulla k-vektort; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k))$ $V$
Lineárisan független rendszerek , és akkor és csak akkor generálják ugyanazt az alteret ; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{k))$ $V$
${\displaystyle a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{k}=\lambda b_{1}\wedge b_{2}\wedge \dots \wedge b_{k))$
Bármely nem nulla polivektor esetén az annihilátor a dimenzió altere, és a polivektor akkor és csak akkor bontható fel ; $t\in \bigwedge \nolimits ^{k}V$ $\operátornév {Ann}t=\{v\in V|t\wedge v=0\}$ $\leq k$ $t$ $\dim \operátornév {Ann} t=k$
Egy V n - dimenziós tér felbontható k-vektorai kúpos algebrai változatot alkotnak a megfelelő projektív algebrai variánssá a Grassmann-féle ; $\Lambda ^{k}(V)$
Bármely nullától eltérő n - vektor vagy ( n − 1) -vektor az n - dimenziós térben felbontható;
A bivektor akkor és csak akkor bontható fel ; $t$ $t\ék t=0$
Ha egy nem nulla vektort rögzítünk , akkor természetes izomorfizmus keletkezik: $n$ $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)$ $\pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$ olyan, hogy mindenkinek . $t\wedge u=\langle \pi (t),u\rangle \omega$ $u\in \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$

Jegyzetek

Irodalom

Kostrikin A.P., Manin Yu.I. Lineáris algebra és geometria (elérhetetlen link) , - Nauka, Moszkva, 1980.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.