Multilineáris algebra

A multilineáris algebra az algebra olyan ága , amely a lineáris algebra fogalmait több olyan változó függvényére általánosítja , amelyek mindegyik argumentumban lineárisak .

Alapdefiníciók

A multilineáris algebra fő célja a multilineáris ( -lineáris) leképezés : $n$

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W

ahol és vektorterek egy bizonyos mező felett . A -linearitási feltétel szigorúan véve azt jelenti, hogy minden egyes leképezési családra $V_1, \pontok, V_n$ $W$ $K$ $n$ $i = 1, \pontok, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \pontok, x_n)

változóktól és paraméterektől függően lineáris leképezésekből áll . A -lineáris leképezést rekurzívan (indukcióval) is definiálhatjuk lineáris leképezésként a -lineáris leképezések vektorterére . $n-1$ $\{x_k | k \ne i\}$ $n$ $V_{n}$ $(n-1)$

A 2-lineáris leképezést bilineárisnak , a 3 -lineáris leképezést trilineárisnak nevezzük . Ha egyezik a mezővel, akkor a leképezést multilineáris formának nevezzük . $W$ $K,$

Egy polilineáris formát szimmetrikusnak mondunk , ha értéke nem változik bármely két argumentum felcserélésekor, tehát ha az összes argumentum felcserélődik.
Egy polilineáris formát ferdeszimmetrikusnak (antiszimmetrikusnak) nevezünk, ha bármely két argumentum felcserélésekor az értéke megfordul. Ezért, ha minden argumentum permutált, az értéke nem változik, ha a permutáció páros, és az ellenkezőjére változik, ha a permutáció páratlan.
Tétel: [1] mindegyikhez van egy egyedi (konstanssal való szorzásig - a mező egy eleme ) ferde-szimmetrikus -lineáris forma . Ez a determinánsa egy vektorokból álló mátrixnak . $n>1$ $K$ $n$ $f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ $V_1, \pontok, V_n$

Lehetőség van a leképezések általánosítására vektorterekről (mezők felett) a gyűrűk feletti modulokra .

Másodfokú és bilineáris formák

Az algebrai formák ( homogén polinomok vektortereken, amelyeket homogén polinomok vektorkoordinátákban adnak meg) a lineáris algebra fontos vizsgálati tárgyai. Ezek közül a négyzetes és a bilineáris formák a legérdekesebbek , de tanulmányozzák a magasabb fokú formákat, a többlineáris formákat, a polikvadratikus formákat és néhány speciális formatípust ( másféllineáris , hermitikus ) is. Az algebrai formák vizsgálatának fő kérdései a lineáris transzformációk (koordináták változása) együtthatók változásának törvényei, a lineáris transzformációk segítségével a kanonikus formára való redukció módszerei, valamint az alakok kölcsönös ábrázolása. [2]

A másodfokú forma a lineáris algebra olyan objektuma, amely a matematika számos ágában megjelenik, különösen a számelméletben , a csoportelméletben ( ortogonális csoport ), a differenciálgeometriában, a Lie algebrákban ( Killing form ), amelyet a számok homogén polinomjaként határoznak meg. a változók földi mezőjének második foka ( a vizsgált tér dimenziója). Egy másodfokú alakot ábrázolhatunk mátrixként , amely (a fő karakterisztikája eltér 2-től) szimmetrikus , és minden szimmetrikus mátrix egy másodfokú alaknak felel meg, a másodfokú alakokra ugyanazokat a műveleteket vezetjük be, mint a mátrixokon (szorzás skalárral, összeadás ), a másodfokú formák kanonikus formává redukálhatók - átlós formává: $n$ $n$ $n\szer n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(az egyik gyakorlati redukciós módszer a Lagrange-módszer ), és minden másodfokú alak ekvivalenciaosztályának tekinthető , amely megfelelő együtthatókkal átlós alakra redukálható, a rangot és az aláírást az ilyen ekvivalenciaosztályokon belül megőrzik . [3] $[a_1, \pontok, a_n]$

Ha egy lineáris alakpárt (elsőfokú homogén polinomok) tekintünk két változórendszer egyetlen függvényének (lineáris terekben, két vektortér derékszögű szorzata fölött, legáltalánosabb esetben a bal szorzata felett és jobb oldali unitárius modulok egy azonos gyűrű felett) a bilineáris forma fogalmához vezet (a tenzoralgebra szempontjából a bilineáris formát rangtenzornak tekintjük ). A másodfokú formához hasonlóan a bilineáris alak is kifejezhető mátrixszal, sőt bármely bilineáris forma másodfokú alakkal is ábrázolható: $(2.0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

továbbá abban az esetben, ha a vektorteret egy 2-től eltérő karakterisztikájú mező felett kölcsönösen egyedi módon határozzuk meg [4] .

Tekintettel annak különleges fontosságára (mind a lineáris algebra, mind az alkalmazások szempontjából), a szimmetrikus és ferde-szimmetrikus bilineáris formák tulajdonságait vizsgálták a legrészletesebben. $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Egyéb példák

Formalizmus

Objektumok

Tevékenységek

Tenzorszorzat – lineáris teret hoz létre, de a terméken lineáris leképezések megfelelnek az eredeti tereken lévő többlineáris leképezéseknek

Jegyzetek

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. - ch. II, 52. o. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , p. 254.
↑ Maltsev, 1970 , p. 262-270.
↑ Másodfokú forma - Matematikai enciklopédia cikk . Malysev A.V.

Irodalom

Multilineáris algebra – Matematikai enciklopédiás cikk . A. L. Oniscsik

Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.