Szimmetrikus mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A szimmetrikus (Symmetric) négyzetmátrixnak nevezzük , amelynek elemei szimmetrikusak a főátlóra . Formálisabban egy mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha . $A$ $\forall i,j:a_{{ij}}=a_{{ji}}$

Ez azt jelenti, hogy egyenlő a transzponált mátrixával :

A=A^{T}

Példák

{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}

Tulajdonságok

A szimmetrikus mátrix mindig négyzet alakú .

Minden valós elemű A szimmetrikus mátrixra a következő igaz:

valós sajátértékei vannak
a különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorai ortogonálisak egymásra:

Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0

sajátvektorai mindig ortonormális alapot képezhetnek
Az A mátrix átlós alakra redukálható: , ahol egy ortogonális mátrix , amelynek oszlopai a sajátvektorok ortonormális bázisát tartalmazzák, és D egy átlós mátrix , amelynek átlóján az A mátrix sajátértékei vannak . $A=QDQ^{{T}}$ $K$
Ha egy A szimmetrikus mátrixnak egyetlen sajátértéke van, akkor átlós alakja van: , ahol az azonosságmátrix bármely bázisban. $\lambda$ $A=\lambda E$ $E$
Szimmetrikus mátrix esetén bármely kongruens mátrix szimmetrikus is, pl.

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Pozitív (negatív) határozott mátrixok

A dimenzió szimmetrikus mátrixát pozitív határozottnak mondjuk, ha egy negatív, nem pozitív és nem negatív határozott mátrix feltétele hasonlóan van megfogalmazva az egyenlőtlenség előjel megfelelő változásával. A mátrix bizonyosságának természetének tisztázására a Sylvester-kritérium használható . $A$ $k\szer k$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \))$ $z^{T}Az>0.$

Lásd még

Irodalom

Bellman R. Bevezetés a mátrixelméletbe . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - 5. kiadás - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. kiadás). - M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Mátrix számítások. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. A magasabb algebra tanfolyama. - 9. kiadás - M . : Nauka, 1968. - 432 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb