Sylvester kritériuma

A Sylvester-kritérium meghatározza, hogy egy szimmetrikus négyzetmátrix pozitív (negatív, nem negatív) határozott- e .

Legyen a másodfokú alaknak valamilyen bázisú mátrixa

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\lpontok &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\lpontok &a_ {{2n}}\\\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\lpontok &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\jobbra| .

Ekkor ez az alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha az összes i × i méretű szögmoll , ahol i az összes egész számon 1-től n -ig terjed, pozitív; és akkor és csak akkor negatív határozott, ha az előjelek váltakoznak, ráadásul [1] . Itt egy mátrix szögmolljai a forma meghatározói $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1}<0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatrix}},\ldots ,\Delta _{i}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\lpontok &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\lpontok &a_{ 2i}\\\lpontok &\lpontok &\lpontok &\lpontok \\a_{i1}&a_{i2}&\lpontok &a_{ii}\end{vmatrix}},\lpontok

Bizonyítás

A másodfokú alak pozitív meghatározottságának kritériuma

A kritérium azt mondja

Ahhoz, hogy egy másodfokú alak pozitív határozott legyen, szükséges és elegendő , hogy mátrixának szögmolljai pozitívak legyenek.

Bizonyítása Jacobi módszerén alapul, amely a másodfokú formát kanonikus formává redukálja.

A szükségesség igazolása

Legyen pozitív határozott másodfokú alak. Ekkor a j -edik átlós elem pozitív, mivel , ahol egy olyan vektor, amelynek a j -edik kivételével minden nulla koordinátája van . A mátrix kanonikus formára redukálásakor a szögmollok nem degeneráltsága miatt a sorokat nem kell átrendezni, így ennek eredményeként a mátrix főmolljainak előjelei nem változnak. A kanonikus formában pedig az átlós elemek pozitívak, és ennélfogva a minorok pozitívak; ezért (mivel előjelük nem változott a transzformációk során) pozitív határozott másodfokú alakra bármilyen alapon, a mátrix fő molljai pozitívak. $q(x)$ $q(e_{j})>0$ $e_j$

Elégséges igazolás

Adott egy szimmetrikus másodfokú forma, amelynek minden szögmollja pozitív. Tekintsük először az első átlós elemet kanonikus formájában: előjelét az első szögmoll határozza meg. Továbbá a szám előjele határozza meg az ( i + 1)-edik elem előjelét átlós alakban. Kiderült, hogy a kanonikus formában az átlón lévő összes elem pozitív, vagyis a másodfokú forma pozitívan definiált. [2] ${\displaystyle \Delta _{i+1}/\Delta _{i))$

Egy másodfokú alak negatív meghatározottságának kritériuma

Ahhoz, hogy egy másodfokú alak negatív határozott legyen, szükséges és elegendő, hogy mátrixának páros rendű szögmolljai pozitívak, a páratlanok pedig negatívak legyenek.

A bizonyítás az előző esetre redukálódik, mivel egy mátrix akkor és csak akkor negatív határozott, ha a mátrix pozitív határozott. Ha egy mátrixot az ellentétre cserélünk, a páratlan sorrendű főmollok előjelet váltanak, míg a páros sorrendű főmollok a determinánsok alapvető tulajdonságai miatt változatlanok maradnak. $A$ $-A$ $A$

A másodfokú alak félig meghatározottságának kritériuma

A pozitív félig határozott mátrixok esetében a kritérium hasonló: a forma akkor és csak akkor pozitív félig határozott, ha minden fő minor nemnegatív. Itt a fő-moll egy olyan részmátrix determinánsa, amely szimmetrikus a főátlóhoz képest, vagyis egy olyan részmátrix, amelynek az oszlop- és sorszámkészletei megegyeznek (például az 1. és 3. oszlop és sorok amelynek metszéspontja a mátrix található) [3] .

A szögletes mollok nem negativitása nem elég, ami a : ellenpéldából következik , de a forma nem pozitív félig határozott. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $\Delta _{1}=\Delta _{2}=0\geqslant 0$

Lásd még

James Joseph Sylvester

Jegyzetek

↑ Sylvester-kritérium egy másodfokú alak előjel-határozottságára . (határozatlan)
↑ D. V. Beklemisev, Analitikus geometria és lineáris algebra tanfolyam , Moszkva: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Algebra és analitikus geometria: tételek és problémák. T. 2.2 . - Moszkva: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 p. — ISBN 5-94373-077-X .