Ortogonális csoport
Az ortogonális csoport egy -dimenziós vektortér összes olyan lineáris transzformációjának csoportja , amely egy mezőn keresztül
megőrzi a rögzített, nem degenerált másodfokú formát (vagyis olyan lineáris transzformációkat , amelyek bármely -re ).





Jelölés és kapcsolódó definíciók
- Az ortogonális csoport elemeit ortogonális (a -hoz képest ) transzformációknak nevezzük , valamint alakautomorfizmusoknak (pontosabban térautomorfizmusoknak a formához képest ) .



- Ezt jelöli , stb . Ha a másodfokú alak nincs kifejezetten megadva, akkor a koordináták négyzeteinek összege által adott, azaz az azonosságmátrix által kifejezett alakra vonatkozik .



- A valós számok mezője felett egy határozatlan alakú ortogonális csoport aláírással ( pluszokkal, mínuszokkal), ahol , -vel jelöljük , lásd pl. O(1,3) .




Tulajdonságok
Ekkor az ortogonális csoport pontosan a tér azon lineáris transzformációiból áll, amelyek megőrzik a -t, és vagy (amikor világos, hogy melyik mezőről és formáról van szó) egyszerűen -val jelöljük .





- Ha az alakmátrix a tér valamely bázisában van , akkor az ortogonális csoport azonosítható az összes ilyen mátrix csoportjával, amelynek együtthatói -ben vannak , úgy, hogy





Különösen, ha az alap olyan, hogy a koordináták négyzeteinek összege (vagyis a mátrix az azonosság), akkor az ilyen mátrixokat ortogonálisnak nevezzük .


- A valós számok mezőjében egy csoport akkor és csak akkor kompakt , ha az alak határozatlan .
- Ebben az esetben a megfelelő alaphoz tartozó bármely elemet blokkátlós mátrixként ábrázoljuk


ahol
R 1 , ..., R k 2x2 forgatási mátrixok; Ennek az állításnak egy speciális esete az
Euler-féle rotációs tétel .
Egyéb csoportok
Az ortogonális csoport a GL( ) általános lineáris csoport egy alcsoportja . Egy ortogonális csoport elemei, amelyek determinánsa 1-gyel egyenlő (ez a tulajdonság nem függ a bázistól ), egy alcsoportot alkotnak - egy speciális ortogonális csoportot , amelyet ugyanúgy jelölünk, mint az ortogonális csoportot, de az "S" betű hozzáadásával ". A konstrukció szerint szintén a speciális lineáris csoport alcsoportja .


Lásd még
Linkek