Ortogonális csoport

Az ortogonális csoport egy -dimenziós vektortér összes olyan lineáris transzformációjának csoportja , amely egy mezőn keresztül megőrzi a rögzített, nem degenerált másodfokú formát (vagyis olyan lineáris transzformációkat , amelyek bármely -re ). $n$ $V$ $k$ $K$ $V$ $\varphi$ $Q(\varphi(v))=Q(v)$ $v\in V$

Jelölés és kapcsolódó definíciók

Az ortogonális csoport elemeit ortogonális (a -hoz képest ) transzformációknak nevezzük , valamint alakautomorfizmusoknak (pontosabban térautomorfizmusoknak a formához képest ) . $K$ $V$ $K$ $V$ $K$
Ezt jelöli , stb . Ha a másodfokú alak nincs kifejezetten megadva, akkor a koordináták négyzeteinek összege által adott, azaz az azonosságmátrix által kifejezett alakra vonatkozik . $Tovább}$ $O_n(k)$ $O_n(Q)$
A valós számok mezője felett egy határozatlan alakú ortogonális csoport aláírással ( pluszokkal, mínuszokkal), ahol , -vel jelöljük , lásd pl. O(1,3) . $l$ $m$ $n = l + m$ $O(l,m)$

Tulajdonságok

Ha a főmező karakterisztikája nem egyenlő kettővel , akkor a képlettel definiált nem degenerált szimmetrikus bilineáris alak on -hoz kapcsolódik. $K$ $F$ $V$ $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2)).$

Ekkor az ortogonális csoport pontosan a tér azon lineáris transzformációiból áll, amelyek megőrzik a -t, és vagy (amikor világos, hogy melyik mezőről és formáról van szó) egyszerűen -val jelöljük .

V

F

O_n(k,\;F)

k

F

Tovább}

Ha az alakmátrix a tér valamely bázisában van , akkor az ortogonális csoport azonosítható az összes ilyen mátrix csoportjával, amelynek együtthatói -ben vannak , úgy, hogy $B$ $F$ $V$ $A$ $k$ $A^TBA=B.$ Különösen, ha az alap olyan, hogy a koordináták négyzeteinek összege (vagyis a mátrix az azonosság), akkor az ilyen mátrixokat ortogonálisnak nevezzük . $K$ $B$ $A$
A valós számok mezőjében egy csoport akkor és csak akkor kompakt , ha az alak határozatlan . $O_n({\mathbb R},\;V)$ $K$
- Ebben az esetben a megfelelő alaphoz tartozó bármely elemet blokkátlós mátrixként ábrázoljuk $O_{n}({\mathbb {R} })$ ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\dpontok &\\&&\pm 1\end{mátrix}}\\\end{bmátrix}}$

ahol R 1 , ..., R k 2x2 forgatási mátrixok; Ennek az állításnak egy speciális esete az Euler-féle rotációs tétel .

Egyéb csoportok

Az ortogonális csoport a GL( ) általános lineáris csoport egy alcsoportja . Egy ortogonális csoport elemei, amelyek determinánsa 1-gyel egyenlő (ez a tulajdonság nem függ a bázistól ), egy alcsoportot alkotnak - egy speciális ortogonális csoportot , amelyet ugyanúgy jelölünk, mint az ortogonális csoportot, de az "S" betű hozzáadásával ". A konstrukció szerint szintén a speciális lineáris csoport alcsoportja . $n$ $SO(n,Q)$ $SO(n,Q)$ $SL(n)$

Lásd még

SO(8)

Linkek

Ortogonális csoport

Isaev A.P., Rubakov V.A. Csoportok és szimmetriák elmélete. végcsoportok. Hazugságcsoportok és algebrák. URSS Kiadó. 2018. 491 s

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	Véges ciklikus csoport C n Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció