Fourier transzformáció csoportokon

A csoportokra vonatkozó Fourier-transzformáció a diszkrét Fourier-transzformáció általánosítása ciklikusról lokálisan kompakt Abel - csoportokra vagy tetszőleges kompakt csoportokra.

Segédfogalmak

Egy csoport véges dimenziós ábrázolása egy vektortér reverzibilis lineáris transzformációinak csoportjára való leképezése úgy , hogy bármely $G$ $\pi :G\mapsto GL(V)$ $G$ $V$ $g_{1},g_{2}\in G$

\pi (g_{1})\pi (g_{2})=\pi (g_{1}g_{2}).

Más szóval, a és a csoportok homomorfizmusa .

\pi

G

GL(V)

A reprezentációt unitáriusnak nevezzük , ha ahol a tér unitáris transzformációinak csoportja . $\pi (G)\subset U(V)$ $U(V)$ $V$
Az és reprezentációit ekvivalensnek nevezzük, ha az egyikről a másikra való átmenet egységes alapváltoztatással végrehajtható , vagyis ha van olyan transzformáció , amely bármely $\pi :G\mapsto GL(V)$ $\rho :G\mapsto GL(V)$ $T\in GL(V)$ $g\in G$ $T\pi (g)T^{-1}=\rho (g)$

A nézetet egy nézet alnézetének nevezzük , ha a és bármely és altere $\rho :G\mapsto GL(W)$ $\pi$ $W$ $V$ $g\in G$ $w\in W$

\rho (g)w=\pi (g)w.

Más szavakkal, egy invariáns altér , és a korlátozás a .

W

\malac)

\rho (g)

\malac)

W

Egy reprezentációt akkor nevezünk redukálhatatlannak , ha önmagán kívül nincs más alreprezentációja, és egy olyan részreprezentációja, amely egy nulldimenziós altérre képezi le .

A kettős halmaz a nem egyenértékű irreducibilis egységes reprezentációk teljes halmaza. ${\hat {G}}$ $G$

Definíció

Egy függvény Fourier-transzformációját mátrixfüggvényként definiáljuk úgy, hogy $f\in L^{2}(G)$ ${\hat {f}}\in L^{2}({\hat {G)))$

{\hat {f}}(\pi )=\sum \limits _{g\in G}f(g)\pi (g^{-1}).

Ilyen jelölésben az inverz transzformációt így írjuk

{\textstyle f(g)={\frac {1}{|G|}}\sum \limits _{\pi \in {\hat {G}}}d_{\pi }{\text{tr}} [\pi (g){\hat {f}}(\pi )],}

ahol annak a lineáris térnek a dimenziója, amelynek transzformációit az adja meg .

{\displaystyle d_{\pi ))

\malac)

Motiváció

Folyamatos esetben egy négyzetes integrálható függvény Fourier-transzformációja a Hilbert Lebesgue tér ortonormális báziskiterjesztésének felel meg. ${\kalap {f))$ $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ $f(x)$ ${\displaystyle \{e^{2\pi iyx}|y\in \mathbb {R} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} )$

{\textstyle f(x)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(y)e^{2\pi iyx}dy.}

Egy periodikus függvény Fourier-transzformációja megfelel annak ortonormális térbázisban való kiterjesztésének $f\in L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \{e^{2\pi kx}|k\in \mathbb {Z} \))$ $L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))(k)e^{2\pi ikx}.}

A függvény diszkrét Fourier transzformációja megfelel az ortonormális térbázis kiterjesztésének $f\in L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$ ${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {n}}}e^{\frac {2\pi ikj}{n}}{\bigg |}k=0,1,\pontok, n-1\jobbra\}}$ $L^{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

{\textstyle f(j)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\hat {f}}(k)e^ {\frac {2\pi ikj}{n))}

Általánosságban elmondható, hogy a csoportokra vonatkozó Fourier-transzformáció egy függvény valamely ortonormális alapon történő kiterjesztésének felel meg . $f\in L^{2}(G)$ $L^{2}(G)$

Irodalom

Terras A. Fourier Analysis on Finite Groups and Applications (angol) - Cambridge University Press , 1999. - 456 p. - ISBN 978-0-511-62626-5 - doi:10.1017/CBO9780511626265
Mensah Y. Fourier Transform on Groups and Applications (angol) // Data-Driven Modeling for Sustainable Engineering - 2019. - P. 21-28. doi:10.1007/ 978-3-030-13697-0_2

Csoportelmélet
Alapfogalmak	Alcsoport Normál alcsoport Tényezőcsoport Munka közvetlen félig közvetlen ingyenes
Algebrai tulajdonságok	kommutatív csoport Ciklikus csoport rendelt csoport Transform Group Megoldható csoport Schreier Lemmája Lagrange-tétel Sylow tételei Egyszerű véges csoportok osztályozása
véges csoportok	C n véges ciklikus csoport Szimmetrikus csoport S n Diéder csoport D n Váltakozó csoport A n Klein négyes csoport Mathieu csoportok M11_ _ M12_ _ M22 _ M23_ _ M24 _ Conway csoportok Co 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankó csoportok J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Fisher csoportok F22_ _ F 23 F24 _ Szörny (M)
Topológiai csoportok	Hazugságcsoportok O(n) ortogonális csoport Speciális ortogonális csoport SO(n) U(n) egységes csoport Különleges egységes csoport SU(n) Szimlektikus csoport Sp(n) Kivételes Egyszerű Lorentz csoport Poincaré csoport
Algoritmusok csoportokon	Schreier – Sims Todd – Coxeter Fourier transzformáció