Csoportos nézet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Egy csoport reprezentációja általában véve egy csoport bármely tevékenysége . A csoportreprezentáción azonban leggyakrabban egy csoport lineáris reprezentációját értjük , vagyis egy csoportnak a vektortéren való működését. Más szavakkal, egy csoport reprezentációja egy adott csoport homomorfizmusa egy vektortér nem degenerált lineáris transzformációinak csoportjává .

A csoportreprezentációk lehetővé teszik számos csoportelméleti probléma lineáris algebrai feladatokra való redukálását. A csoportreprezentációknak az elméleti fizikában is vannak alkalmazásai, mivel lehetővé teszik annak megértését, hogy egy fizikai rendszer szimmetriacsoportja hogyan hat a rendszert leíró egyenletek megoldására.

Definíció

Legyen egy adott csoport és egy vektortér. Ekkor a csoport reprezentációja egy leképezés , amely minden elemet egy nem degenerált lineáris transzformációhoz társít , és a tulajdonságok $G$ $W$ $G$ $A$ $g\in G$ $A_{g}:W\ to W$

A_{{gh}}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{{g^{{-1}}}}=A_{g}^{{-1}}\quad (\ minden g,h\in G).

A vektorteret ebben az esetben reprezentációs térnek nevezzük . A matematikának a csoportok reprezentációit vizsgáló ágát reprezentációk (csoportok) elméletének nevezzük . A reprezentáció mátrixokat vagy lineáris tértranszformációkat használó csoportreprezentációként értelmezhető. A csoportreprezentációk használatának lényege, hogy a csoportelméletből származó problémák a lineáris algebrából származó vizuális problémákra redukálódnak, ami gyakran lehetővé teszi a számítási megoldást. Ez magyarázza a reprezentációelmélet nagy szerepét az algebra és a matematika más ágainak különböző kérdéseiben. Például egy szimmetrikus csoport és egy váltakozó csoport egydimenziós ábrázolása nagy szerepet játszik annak bizonyításában, hogy egy 4-nél nagyobb fokú algebrai egyenlet gyökökben nem oldható meg. A kvantummechanikában fontos szerepet játszik a végtelen dimenziós ( amelyben a vektortér Hilbert ) csoportok (elsősorban Lorentz-csoportok ) reprezentációi . $W$ $A$ $S_{n}$ $A_{n}$

Kapcsolódó definíciók

Legyen a csoport reprezentációja , itt - a tér nem degenerált lineáris transzformációinak (automorfizmusainak) csoportja . A reprezentáció dimenziója a vektortér dimenziója $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $G$ $\operátornév {Aut}(W)$ $W$ $A$ $(\dimW).$

Ugyanazon csoport reprezentációit és reprezentációit ekvivalensnek mondjuk , ha létezik olyan vektorterek izomorfizmusa, amelyből különösen az következik, hogy az ekvivalens reprezentációk azonos dimenziójúak. Általában a reprezentációkat az ekvivalenciáig tekintik. $V:G\to \operátornév {Aut}(W)$ $A'\colon G\to \operatorname {Aut} (W')$ $G$ $C:W'\W-ig$ $A'_{g}=C^{{-1}}A_{g}C\ (\forall g\in G).$

Egy reprezentációt reprezentációk közvetlen összegének nevezünk , ha (itt az előjel a vektorterek közvetlen összegét jelenti ), és mindegyik altér invariáns a transzformáció alatt, és az ábrázolás indukált korlátozása ekvivalens $V:G\to \operátornév {Aut}(W)$ $A^{{(i)}}:G\to \operátornév {Aut}(W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ $\oplus$ $g\in G$ $W_{i}\Subset W$ $A_{g}:W\ to W$ $A$ $W_i$ $G\to \operátornév {Aut}(W_{i})$ $A^{{(i)}}.$

Egy adott ábrázolásnál a leképezést karakternek nevezzük ; itt a nyomot jelenti . $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ $\chi _{A}\colon g\to \mathrm {tr} A(g)$ $A$ $\mathrm {tr}$

Nézettípusok

Egy reprezentációt akkor mondunk pontosnak , ha a megfelelő homomorfizmus magja csak az azonosságelemből áll.

A csoportreprezentációt redukálhatónak nevezzük, ha a vektortérnek van egy olyan altere, amely a nullától és önmagától eltérő , és amely minden transzformációra invariáns . Ellenkező esetben a reprezentációt irreducibilisnek vagy egyszerűnek nevezzük (ebben az esetben a térben lévő reprezentáció nem tekinthető irreducibilisnek). Maschke tétele kimondja, hogy a véges csoportok véges dimenziós reprezentációi egy karakterisztikus nulla mezőn (vagy egy pozitív, de nem sorrendben osztó csoporton ) mindig az irreducibilisek közvetlen összegére bomlanak. $G$ $W$ $W$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W=\{0\}$

Egy kommutatív csoport minden irreducibilis reprezentációja a komplex számok területén egydimenziós. Az ilyen ábrázolásokat karaktereknek nevezzük .

A reprezentációt regulárisnak nevezzük, ha a függvények tere a csoporton , és a lineáris transzformáció minden függvényhez egy függvényt rendel . Más szavakkal, egy csoport csoportgyűrűjén lévő természetes reprezentációt szabályosnak nevezzük . $W$ $G$ $A_{g}:W\ to W$ $f(\omega ),\ \omega \ in G,$ $f(g\omega ),\ \omega \in G$

Egy reprezentációt unitáriusnak mondunk valamely hermitikus skaláris szorzathoz képest a térben egy mező felett, ha minden transzformáció unitárius . Egy reprezentációt unitárizálhatónak nevezünk, ha egy vektortérben (egy mező felett ) be lehet vezetni egy olyan hermitikus skalárszorzatot, amelyre nézve unitárius. Egy véges csoport bármely reprezentációja unitárizálható: elegendő egy tetszőleges Hermitianus skalárszorzatot kiválasztani a térben , és a kívánt hermiti skalárszorzatot a képlettel meghatározni. $W$ $\mathbb {C}$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W$ $\mathbb {C}$ $G$ $W$ $\langle x,y$ $(x,y)=\sum _{{g\in G}}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .$

Ha egy topológiai csoport, akkor a csoportreprezentáció általában a csoport folyamatos lineáris reprezentációja egy topológiai vektortérben . Ez azt jelenti, hogy a -tól -ig történő leképezés folyamatos , [1] -ként megadva . $G$ $G$ $A$ $G$ $W$ $G\times W$ $W$ $(g,v)\mapsto A_{g}v$

Példák

Az U(1) egységcsoport egy kétdimenziós tér középpont körüli forgáscsoportjaként ábrázolható .
A szimmetrikus csoport ábrázolását a következőképpen kaphatjuk meg. Válasszunk egy bázist egy dimenziós vektortérben . Minden permutációhoz definiálunk egy lineáris transzformációt, amely a bázisvektort a bázisvektorba viszi , ahol így megkapjuk a csoport -dimenziós reprezentációját. $S_{n}$ $W$ $n$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots ,i_{n})$ $A_{g}:W\ to W,$ $e_{k}$ $e_{{i_{k}}},$ $k=1,\ldots ,n.$ $n$ $S_{n}.$
Egy csoport irreducibilis, kétdimenziós reprezentációját úgy kaphatjuk meg, hogy a síkban kiválasztunk egy bázist , behelyezünk egy vektort , és minden permutációhoz meghatározunk egy lineáris transzformációt , amely be- és beépül. $S_{3}$ $W$ $e_{1},e_{2},$ $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ $g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ $A_{g}:W\ to W$ $e_{1}$ $e_{{i_{1}}}$ $e_{2}$ $e_{{i_{2}}}.$
Az adjunkt reprezentáció egy Lie csoportreprezentáció , amely a megfelelő Lie algebrára hat .
A társcsatolt nézet olyan nézet, amely egy csatolt nézethez van kapcsolva.

Változatok és általánosítások

Tágabb értelemben egy csoport reprezentációja felfogható egy csoport homomorfizmusaként valamely halmaz összes reverzibilis átalakulásának csoportjába . Például: $x$

Egy csoport projektív reprezentációja egy csoport homomorfizmusa egy projektív tér projektív transzformációinak csoportjába .

Linkek

A csoportos reprezentáció jellege

Jegyzetek

↑ A. I. Stern. Folyamatos ábrázolás // Matematikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.

Irodalom

Berezin F. A., Gelfand I. M., Graev M. I., Naimark M. A. Csoportképviseletek // Uspekhi Mat. - 1956. T. 11. - Szám. 6 (72). — P. 13–40.
Vinberg EB Csoportok lineáris reprezentációi. - M .: Nauka, A fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1985.
Naimark M. A. A csoportok reprezentációs elmélete . — M.: Nauka, 1976.
Serre J.-P. Véges csoportok lineáris ábrázolása. — M.: Mir, 1970.
Sheinman OK A reprezentációk elméletének alapjai . - M .: MTSNMO kiadó, 2004.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria . — M.: Fizmatlit, 2009.

Linkek

R. Borcherds , Playlist "Representation theory" on YouTube

Bibliográfiai katalógusokban
BNE : XX5225372 BNF : 11932754t GND : 7503476-1 J9U : 987007531631305171 LCCN : sh85112944 SUDOC : 02724251X