Társképviselet

Egy Lie-csoport koadjungált reprezentációja az reprezentációs konjugált az adjungothoz . Ha a csoport Lie algebrája , akkor a térkonjugátum megfelelő műveletét koadjungált műveletnek nevezzük . Geometriai szempontból ez a balra eltolódások hatása a jobbra-invariáns 1-es alakok terére . $\mathrm {Ad} ^{*}$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $G$

A koadjungált reprezentáció fontosságát hangsúlyozták A. A. Kirillov munkáiban , aki kimutatta, hogy a koadjungált reprezentáció pályájának (K-pálya) fogalma kulcsszerepet játszik a nilpotens hazugságcsoportok reprezentációelméletében . A Kirillov -féle pályamódszerben az ábrázolásokat geometriailag, K-pályákból kiindulva építik fel. Bizonyos értelemben ez utóbbi helyettesíti a konjugált osztályokat , amelyek bonyolultan elrendezhetők, míg a pályákkal való munka viszonylag egyszerű. $G$ $G$ $G$

Definíció

Legyen egy Lie csoport és legyen a Lie algebra, legyen adjunkt reprezentációja . Ekkor a koadjungált reprezentációt a következőképpen határozzuk meg . Pontosabban, $G$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g)))$ $G$ $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

ahol a lineáris függvény értéke a vektoron . $\langle f,X\rangle$ $f$ $x$

Legyen a Lie algebra reprezentációja indukálva a Lie csoport koadjungált reprezentációjával . Ekkor az egyenlőség érvényes -re , ahol a Lie algebra adjunkt reprezentációja . Ez a következtetés levonható a fenti konstitutív egyenlet infinitezimális alakjából : $\mathrm {ad} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $G$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {ad}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

hol van az exponenciális leképezés -tól -ig . $\exp$ $\mathfrak g$ $G$

Generátorok

Legyen differenciálható függvény a . Tekintsük a függvény változását egy egyparaméteres részcsoport koadjungált hatása alatt a vektor irányában, és differenciáljuk a csoport azonosságánál: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subset G$ $X\in {\mathfrak {g))$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\jobbra |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(egy)

Itt látható a függvény gradiense , amelyet természetesen az algebra egy elemével azonosítunk . Válasszunk egy bázist az algebrában , és legyen ennek reciprok bázisa -ben , azaz , , ahol a Kronecker szimbólum . Bázisvektornak választjuk . Ekkor az egyenlőség ( 1 ) formát ölt $\nabla _{f}\varphi$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ $\{e^{i}\}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle \langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i))$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $\delta^i_j$ $x$ $e_{i}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j))))

(itt és alább az összegzést a kétszer ismétlődő indexek jelentik ), ami azt mutatja, hogy a koadjungált művelet generátorainak alapjaként választhatunk vektormezők halmazát

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak {g}}

hol vannak az algebra szerkezeti állandói . ${\displaystyle C_{ij}^{k))$ $\mathfrak{g}$

Invariánsok

A koadjungált művelet invariánsai kielégítik a differenciálegyenlet -rendszert $K$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Az egyenlőség segítségével definiálunk egy antiszimmetrikus bilineáris formát $B_{f}(X,\,Y)$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

A független egyenletek száma a ( 2 ) rendszerben egyenlő . Megoldásait egy általános helyzetű pont (azaz az a pont, ahol az alak rangja maximális) szomszédságában az algebra Casimir-függvényeinek nevezzük . A funkcionálisan független, nem triviális (nem azonosan állandó) Casimir-függvények számát az algebra indexének nevezzük , és egyenlő ${\displaystyle \mathrm {rang} \,B_{f))$ ${\megjelenítési stílus B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ matematika {rang} \,B_{f}

Mivel az antiszimmetrikus alak rangja páros, az index paritása és az algebra dimenziója mindig egybeesik.

A tér általános helyzetének pontjain definiált , , Casimir-függvényeken kívül a koadjungált cselekvés speciális részsokaságain is lehetnek invariánsok, amelyeken az alak rangja alacsonyabb a maximumnál. Ha egy speciális invariáns részsokaságon az alak rangja , akkor a ( 2 ) rendszer nem konstans megoldásait , amelyek az alsokaságra korlátozódnak , típusú Casimir-függvényeknek nevezzük . A független függvények halmaza képezi a koadjungált cselekvés invariánsainak alapját: bármely invariáns kifejezhető ennek a halmaznak az elemeinek függvényében. A ( 2 ) rendszer alakjából következik, hogy az invariánsok alapja mindig a kovektor komponenseinek homogén függvényeiből állhat . $K_{\mu }$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\megjelenítési stílus B_{f))$ $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\megjelenítési stílus B_{f))$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Kisasszony$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak {g)))/2)}\))$ $f$

K-pályák

A koadjungált ábrázolás pályája, vagy röviden a K-pálya, amely a Lie algebra duális terének egy pontján halad át , definiálható a pályájaként , vagy ennek megfelelően a homogén térként , ahol a stabilizátor pontja a csoport koadjoint akciója tekintetében . $\mathcal{O}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ $f$ $G$

Az általános helyzetben lévő pályák lehetséges legnagyobb mérete egyenlő , és ezeket nem degeneráltnak vagy szabályosnak nevezzük . Az ilyen pályákat független Kázmér-függvények tetszőleges halmazaként határozzák meg az egyenletek $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

Hasonlóképpen a degenerált vagy szinguláris dimenziópályákat , amelyek szinguláris invariáns részsokaságokat alkotnak , az egyenletek határozzák meg. $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Kisasszony$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

ahol a típusú független Kázmér-függvények száma . Ha a Casimir-függvények egyértékűek, akkor minden konstans halmaz megszámlálható (rendszerint véges) számú pályának felel meg. A (nem)degenerált pályához tartozó kovektorokat (nem) degeneráltnak is nevezik . ${\displaystyle r_{s))$ $s$ ${\displaystyle \kappa _{\mu }^{(s)))$

Kirillov egyenruhája

A koadjungált ábrázolás pályái páros dimenziójú részsokaságok , és természetes szimplektikus szerkezettel rendelkeznek . Minden pályának van egy zárt, nem degenerált -invariáns 2-formája , amely a következőképpen épül fel. Legyen a fent meghatározott antiszimmetrikus bilineáris forma . Ekkor az egyenlőséggel definiálható ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$ ${\megjelenítési stílus B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

A létezés, a nem-degeneráció és a változatlanság a következő tényekből következik : $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$

Az érintőteret a -val azonosíthatjuk , ahol a csoport Lie algebrája . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)$

A megjelenítő kernel pontosan . ${\megjelenítési stílus B_{f))$ $\mathrm {stab} (f)$

${\megjelenítési stílus B_{f))$ változatlan a cselekvés alatt . $\mathrm {Stab} (f)$

Ezenkívül az űrlap zárva van . A kanonikus 2-es formát Kirillov , Kirillov - Kostant vagy Kirillov-Kostant-Surio alaknak nevezik . $\omega _{\mathcal {O}}$ $\omega _{\mathcal {O}}$

A K-pályát egész számnak nevezzük, ha a Kirillov-forma az integer cohomology osztályba tartozik , azaz bármely kétdimenziós cikluson belüli integrálja egy egész számmal egyenlő: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

Az egész pályák központi szerepet játszanak a Lie csoportok irreducibilis reprezentációinak orbit módszerrel történő megalkotásában.

Berezin zárójel

Az űrlap egy Poisson elosztó szerkezetével ruházza fel a teret Lie-Poisson zárójellel ${\megjelenítési stílus B_{f))$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i))}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j))},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})

ami egy degenerált Poisson zárójel : a koadjoint akciógenerátorok formájából nyilvánvaló, hogy a Casimir-függvények (és csakis azok) ingáznak hozzá képest bármely függvényen a -n . Ennek a zárójelnek a koadjungált ábrázolás pályáira való korlátozása, amelyet Berezin -zárójelnek [1] neveznek, nem degenerált, és egybeesik a Kirillov-forma által generált Poisson- zárójellel: ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O))))$

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Itt van egy Hamilton vektormező a Hamiltoni vektorral . $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ $\varphi$

A K-pályák tulajdonságai

A koadjungált akció egy K-pályán egy Hamilton - akció lendületleképezéssel [ . $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Ha a pályának polarizációja van , akkor a beágyazás a változókban lineáris függvényekkel valósítható meg , ahol a pályán a Kirillov alak kanonikus koordinátái vannak . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $p$ ${\megjelenítési stílus (q,\,p)}$ $\mathcal{O}$

Példák

Csoport $E(2)$

Az euklideszi sík mozgáscsoportjának Lie algebráját a kommutációs összefüggések határozzák meg ${\mathfrak {e}}(2)$ $E(2)$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

(az ingázó elemek és a sík két koordináta tengely irányába történő fordításának felelnek meg, az elem pedig valamilyen pont körüli forgásnak felel meg; így a csoport háromdimenziós). Ennek megfelelően az alakmátrixnak van formája $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ $E(2)$ ${\megjelenítési stílus B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

A rangja mindenhol kettővel egyenlő, kivéve a vonalat , amely a csoport koadjungált műveletének speciális invariáns részsokadala , tehát a nem degenerált K-pályák kétdimenziósak. Ennek az akciónak a generátorai által $f_{1}=f_{2}=0$ $M_{1}$ $E(2)$ ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\ részleges f_{1))}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2))))

két független egyenletet írunk fel

f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3))}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

egyedi Kázmér-függvény meghatározása. Szintének nem egyedi fajtái

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

amelyek mindegyike egy pályából áll, közös tengelyű hengerek . A szinguláris szintű sokaság ( ) egybeesik a (nulladimenziós) szinguláris pályákkal , és abból áll . Kirillov forma $M_{1}$ $j=0$ $M_{1}$ $f_{1}=f_{2}=0$ ${\displaystyle f_{3}=\kappa ^{(1)))$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

kanonikus formára redukálva hengeres koordinátákkal, rögzített pályára korlátozva : $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ $j=const$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Vegye figyelembe, hogy a kanonikus változókra való átmenet ebben az esetben lineáris . A "lendületben" lineáris -átmenet lehetőségét a , vektorok által átívelt transzlációk jelenléte garantálja a kétdimenziós részalgebrában , ami kommutativitása miatt bármely nem degenerált K-pálya polarizációja. $p$ $q$ $p$ ${\mathfrak {e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Csoport $SO(3)$

$SO(3)$ a háromdimenziós euklideszi tér forgásainak (háromdimenziós) csoportja . Kommutációs relációk a Lie algebrában ${\mathfrak {so}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2 },\,e_{3}]=e_{1}

(minden bázisvektor egy forgásgenerátornak felel meg a három egymásra merőleges sík egyikében) határozza meg az űrlapmátrix alakját : ${\megjelenítési stílus B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{pmatrix}}

A koadjungált ábrázolás három generátora közül mindegyik pontban csak kettő lineárisan független, tehát a nem szinguláris pályák kétdimenziósak. Koncentrikus gömbök $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

középpontjában az origó áll. Egy speciális alváltozat egy pontból áll , mivel csak ebben lesz mindhárom generátor nulla. $M_{1}$ $\{0\}$

Mivel az algebrában nincsenek kétdimenziós részalgebrák, ezért a reguláris kovektoroknak nincs polarizációjuk, ennek megfelelően a szabályos pályák térbeli beágyazása nem valósítható meg olyan függvényekkel, amelyek a Kirillov-forma kanonikus változóiban lineárisak. ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ $p$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Vannak azonban (komplex) kétdimenziós részalgebrák, amelyek alá vannak rendelve a nem degenerált kovektoroknak , az algebra komplexizálásában . Például egy kovektornál ez az algebra , tehát egy ilyen beágyazás összetett értékeket felvevő változókon keresztül lehetséges: ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle j\,e^{3))$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

Könnyű ellenőrizni, hogy ez az átalakítás valóban a formát hozza a kanonikus formába. $\omega _{\mathcal {O}}$

Lásd még

Mellékelt nézet
Kirillov-pályamódszer
Borel-Weyl-Bott tétel
Kirillov karakterképlete

Irodalom

A. A. Kirillov. A reprezentációelmélet elemei. - M. : Nauka, 1978. - 343 p.
Kirillov, AA, Lectures on the Orbit Method , Graduate Studies in Mathematics , Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Jegyzetek

↑ A. V. Boriszov, I. S. Mamajev. Dirac konzolok a geometriában és a mechanikában. A könyvben: Dirac P. A. M. Lectures on theoretical physics. - Izhevsk: Kutatóközpont "Szabályos és kaotikus dinamika", 2001. - P. 191 - 230. - 240 p. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Vektormezők és kanonikus koordináták deformációi a koadjungált ábrázolás pályáin // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - július - augusztus ( 50. köt. , 4. szám ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (Orosz)
↑ Do Ngoc Diep. Coadjoint pályák kvantumrétegei (angol) // arXiv.org. - 2000. - május. - P. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Linkek

Coadjoint orbit (angolul) a PlanetMath weboldalon .