Mozgás (matematika)

A mozgás a metrikus tér transzformációja, amely megőrzi a megfelelő pontok közötti távolságot , vagyis ha és a pontok képei és , akkor . Más szóval, a mozgás a tér önmagába való izometriája . $A'$ $B'$ $A$ $B$ $A'B'=AB$

Bár a mozgást minden metrikus térben definiálják, ez a kifejezés gyakoribb az euklideszi geometriában és a kapcsolódó területeken. A metrikus geometriában (különösen a riemann geometriában ) gyakrabban mondják: a tér izometriája önmagába . Egy metrikus tér általános esetben (például egy nem lapos Riemann-sokaság esetén) nem mindig léteznek mozgások.

Néha a mozgást az euklideszi tér olyan átalakulásaként értik, amely megőrzi az orientációt. Különösen egy sík tengelyirányú szimmetriája nem tekinthető mozgásnak, míg a forgás és a párhuzamos eltolódás mozgásnak. Hasonlóképpen az általános metrikus terek esetében a mozgás az identitásleképezés összekapcsolt összetevőjéből származó izometriacsoport eleme .

Az euklideszi (vagy pszeudoeuklideszi ) térben a mozgás automatikusan megőrzi a szögeket is, így minden pontszorzat megmarad .

Továbbá ebben a cikkben csak az euklideszi ponttér izometriáit vizsgáljuk.

Helyes és nem megfelelő mozgások

Legyen egy euklideszi ponttér mozgása és a tér szabad vektorainak tere . Az affin transzformációhoz társított lineáris operátor ortogonális operátor , így determinánsa lehet ( megfelelő ortogonális operátor ) vagy ( nem megfelelő ortogonális operátor ). Ennek megfelelően és a mozgások két osztályba sorolhatók: megfelelő (if ) és helytelen (if ) [1] . $f\colon E\rightarrow E$ $E,$ $V$ $E$ $Df\colon V\rightarrow V,$ $f,$ $egy$ $-egy$ $\det Df=1$ $\det Df=-1$

A megfelelő mozgások megőrzik a tér tájolását , a nem megfelelőek - helyettesítik az ellenkezőjére [2] . Néha a megfelelő és nem megfelelő mozgásokat elmozdulásnak , illetve anti -elmozdulásnak nevezik [3] . $E,$

Egy n - dimenziós euklideszi ponttér bármely mozgása egyértelműen meghatározható egy ortonormális keret megadásával, amelybe egy adott mozgás során a térben előre kiválasztott ortonormális keret bemegy . A képkocka az eredetivel megegyező tájolású, helytelen mozgás esetén pedig az új képkocka az ellenkező irányba. A mozgások mindig megtartják a térbeli pontok közötti távolságokat (azaz izometriák ), és nincs más izometria, kivéve a helyes és helytelen mozgásokat [4] . $E$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),$ $E$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n}).$ $E$

A mechanikában a „mozgás” fogalmának más jelentése van; különösen mindig egy bizonyos ideig tartó folyamatos folyamatnak tekintjük (lásd a mechanikai mozgást ). Ha P. S. Aleksandrov nyomán folytonos mozgásnak nevezzük a tér olyan mozgását, amely folyamatosan függ a paramétertől (a mechanikában ez egy abszolút merev test mozgásának felel meg ), akkor az ortonormális keret folyamatos mozgással kapható meg az ortonormálisból. keret akkor és csak akkor, ha mindkét benchmark azonos orientációjú [5] . $E,$ $t\in [t_{0},t_{1}]$ $n=3$ $(O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ $(O;e_{1},\ldots ,e_{n})$

Az izometriák bizonyos típusai

Egyenes

Egy egyenes bármely mozgása vagy párhuzamos eltolódás (az egyenes minden pontjának elmozdulására redukálva ugyanazon az egyenesen fekvő vektorral), vagy egy adott egyenesen felvett pontról való visszaverődés . Az első esetben a mozgás megfelelő, a másodikban - nem megfelelő [6] .

A repülőn

A sík bármely mozgása a következő típusok egyikébe tartozik [2] :

Párhuzamos átvitel ;
Forduljon ;
Axiális szimmetria ( visszaverődés );
A csúszó szimmetria egy egyenessel párhuzamos vektor transzlációjának és ezen egyenesre vonatkozó szimmetriának a szuperpozíciója .

Az első két típus mozgása megfelelő, az utolsó kettő helytelen [7] .

3D térben

A háromdimenziós tér bármely mozgása a következő típusok egyikébe tartozik [2] :

Párhuzamos átvitel;
Fordulat;
A csavarmozgás egy bizonyos egyenes körüli forgás szuperpozíciója, és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor transzlációja;
Tükör szimmetria (visszaverődés) a síkról ;
A csúszó szimmetria a transzláció szuperpozíciója egy síkkal párhuzamos vektorral és egy szimmetriával ezen a síkon;
A tükörforgás valamilyen egyenes körüli forgás és a forgástengelyre merőleges sík körüli visszaverődés szuperpozíciója.

Az első három típus mozgásai kimerítik a háromdimenziós tér sajátmozgásának osztályát ( Chall-tétel ), az utolsó három típus mozgásai pedig nem megfelelőek [7] .

n-dimenziós térben

A dimenziós térben a mozgások ortogonális transzformációkra , párhuzamos fordításokra és mindkettő szuperpozíciójára redukálódnak. $n$

Az ortogonális transzformációk pedig a (megfelelő) elforgatások és tükörreflexiók szuperpozícióiként (azaz a hipersíkokhoz viszonyított szimmetriákként) ábrázolhatók .

A mozgások mint szimmetriák szuperpozíciói

A dimenziós euklideszi tér bármely izometriája legfeljebb n+1 tükörreflexió szuperpozíciójaként ábrázolható [8] . $n$

Tehát a párhuzamos transzláció és forgás két visszaverődés szuperpozíciója, a csúszó reflexió és a tükör forgása három, a csavarmozgás pedig négy.

Az izometriák általános tulajdonságai

Az izometriák szuperpozíciója is izometria [9] .
Az E euklideszi tér izometriái a szuperpozíció műveletére nézve az Iso( E ) csoportot alkotják , amely egy Lie csoport .
Az izometria az affin transzformáció speciális esete (tehát az Iso( E ) egy másik Lie csoport, az E tér Aff( E ) affin csoportjának alcsoportja ) [10] .
Az Iso( E ) csoport két összefüggő komponensből áll : a megfelelő mozgások Iso + ( E ) halmazából (amely maga egy Lie csoport) és a nem megfelelő mozgások Iso - ( E ) halmazából; ezen komponensek mindegyike útvonalon kapcsolódik [3] .
Az izometria, mivel affin transzformáció , mindig egy szegmenst alakít vissza szegmenssé.

Jegyzetek

↑ Kostrikin és Manin, 1986 , p. 201-204.
↑ 1 2 3 Egorov I.P. Mozgás // Matematikai enciklopédia. Vol. 2 / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet enciklopédia , 1979. - 1104 stb. - Stb. 20-22.
↑ 1 2 Berger, 1984 , p. 249.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 259-262.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 210, 214.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 284.
↑ 1 2 Kostrikin és Manin, 1986 , p. 204.
↑ Berger, 1984 , p. 255.
↑ Aleksandrov, 1968 , p. 267.
↑ Kostrikin és Manin, 1986 , p. 202.

Irodalom

Alexandrov P. S. . Előadások az analitikus geometriáról. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
Berge M. . Geometria. T. 1. - M . : Mir , 1984. - 560 p.
Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Lineáris algebra és geometria. 2. kiadás — M .: Nauka , 1986. — 304 p.