Affin transzformáció

Az affin transzformáció , néha affin transzformáció [1] (a latin affinis szóból „összefüggő, közeli, szomszédos”) egy sík vagy tér önmagába való leképezése, amelyben a párhuzamos egyenesek párhuzamos egyenesekké, a metsző egyenesek metszővé, a metsző egyenesek metszővé válnak [ 2 ] .

Definíciók

Geometriai

Egy euklideszi tér vagy sík önmagába való bijekcióját , amely párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekre képez le, affin transzformációnak nevezzük.

Algebrai

Az affin transzformáció a forma transzformációja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

f(x)=M\cdot x+v,

ahol egy invertálható mátrix és . $M$ $v\in {\mathbb {R}}^{{n}}$

Megjegyzések

Vegye figyelembe, hogy a geometriai meghatározás nem feltételezi a folytonosságot. A definícióból azonban nem egészen triviális módon következik a folytonosság. Ráadásul mindkét definíció egyenértékű az affin geometria úgynevezett alaptételével .

Vegye figyelembe, hogy egy transzformáció affin, ha a következőképpen érhető el:
1. Válasszon egy "új" téralapot " új " origóval ; $v$
2. Társítsa a tér minden pontját egy olyan ponthoz , amelynek az "új" koordinátarendszeréhez képest ugyanazok a koordinátái, mint a "régi" koordinátarendszerben. $x$ $f(x)$ $x$

Példák

Példák az affin transzformációkra

Tulajdonságok

Egy affin transzformáció során az egyenesből egyenes vonal lesz.
- Ha a tér mérete ${n}\geqslant 2$ , akkor a tér minden olyan átalakítása (vagyis a tér önmagára való bijekciója ), amely vonalakat vonalakká tesz, affin. Ezt a definíciót használják az affin geometria axiomatikus felépítésében
Az affin transzformációk összetételük szempontjából egy csoportot alkotnak .
Bármely három pont, amely nem egy egyenesen fekszik, és azok képei (amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek) egyértelműen meghatározzák a sík affin transzformációját.

Az affin transzformációk típusai

Az equiaffin transzformáció olyan affin transzformáció, amely megőrzi a területet (az affin hossz is megmarad ).
A centro -affin transzformáció olyan affin transzformáció, amely megőrzi az eredetet.

Mátrix ábrázolás

Más projektív transzformációkhoz hasonlóan egy affin transzformáció is felírható átmeneti mátrixként homogén koordinátákban : $f(x)=M\cdot x+v$

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix }}$

A mátrixábrázolást különösen affin transzformációk írására használják számítógépes grafikában. A fenti űrlapot az OpenGL [3] használja ; a DirectX -ben (ahol a koordinátákat 1×4-es mátrixokként ábrázoljuk) transzponáljuk [4] .

Változatok és általánosítások

Az affin transzformáció fenti definíciójában bármely mező használható , nem csak a valós számok mezője . $\mathbb {R}$
A metrikus terek közötti leképezést affinnak nevezzük, ha a geodetikust geodetikusra képezi le (figyelembe véve a paraméterezést).
A tér affin transzformációi az azonos tér projektív transzformációinak speciális esetei . A tér projektív transzformációi viszont a tér affin transzformációiként ábrázolhatók . ${\mathbb {R}}^{{n}}$ ${\mathbb {R}}^{{n}}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

Lásd még

Gumilapos módszer (helyi affin transzformáció)

Jegyzetek

↑ Kagan V.F. A felületek elméletének alapjai a tenzorábrázolásban. - Ripol-klasszikus , 2013. - 518 p. — ISBN 9785458491099 .
↑ I. M. Vinogradov. Affin transzformáció // Matematikai enciklopédia. — M.: Szovjet Enciklopédia . - 1977-1985. (Orosz)
↑ OpenGL átalakítás . Letöltve: 2010. augusztus 4. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 23..
↑ Átalakítások (Direct3D 9 ) . Letöltve: 2010. augusztus 4. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 23..

Linkek

Az affin síktranszformáció és mátrixábrázolása Archivált : 2007. november 24. a Wayback Machine -nél
Ershov A.V. Lineáris és affin terek és leképezések Archiválva 2021. december 3-án a Wayback Machine -nél . M.: MIPT, 2016. 69 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy orosz Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4141560-7