Homogén koordinátarendszer

A homogén koordináták a projektív geometriában használt koordinátarendszer , hasonlóan ahhoz, ahogyan a derékszögű koordinátákat az euklideszi geometriában használják .

A homogén koordinátáknak megvan az a tulajdonsága, hogy az általuk meghatározott objektum nem változik, ha minden koordinátát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozunk. Emiatt a pontok ábrázolásához szükséges koordináták száma mindig eggyel több, mint annak a térnek a mérete , amelyben ezeket a koordinátákat használják. Például 2 koordinátára van szükség egy pont ábrázolásához egy egyenesen az 1D térben, és 3 koordinátára van szükség ahhoz, hogy egy pontot ábrázoljunk egy síkban a 2D térben. A homogén koordinátákban még olyan pontokat is lehet ábrázolni, amelyek a végtelenben vannak.

Plücker vezette be a Gergonne -Poncelet kettősség elvének analitikus megközelítéseként .

Projektív geometria

A projektív síkot általában az origón áthaladó egyenesek halmazaként határozzák meg . Minden ilyen egyenest egy olyan pont határoz meg egyértelműen, amely nem esik egybe az origóval . Hagyja, hogy ez az egyenes egy koordinátájú ponton haladjon át , akkor a projektív sík megfelelő pontjának homogén koordinátái a számok hármasa , arányosságig definiálva és úgy, hogy mindhárom koordináta nem lehet egyszerre nulla [1] . Például, $\mathbb R^3$ $0$ $(ABC)$ $(x_1:x_2:x_3)$ $(0:1:1)=(0:2:2).$

A homogéntől az affin koordinátáig a következőképpen haladhatunk: a háromdimenziós térben olyan síkot rajzolhatunk , amely nem megy át a koordináták origóján ; akkor az origón áthaladó egyenes vagy párhuzamos ezzel a síkkal (ebben az esetben a pontot „végtelenül távolinak” nevezzük), vagy egyetlen pontban metszi, akkor a síkon ennek a pontnak a koordinátáihoz rendelhető . Például rajzoljunk egy síkot a térben koordinátákkal . Ekkor egy homogén koordinátájú pont , ha , megfelel a sík egy pontjának koordinátáival . Fordítva, egy homogén koordinátájú affin koordinátájú pont így lesz felírva $(x_1,x_2,x_3)$ $x_3=1$ $(ABC)$ $c\neq 0$ $(a/c, b/c).$ $(a,b)$ $(a:b:1).$

A projektív síkban lévő vonalak olyan síkok a háromdimenziós térben, amelyek áthaladnak az origón. Egy ilyen sík az egyenlettel definiálható . Könnyen belátható, hogy ha ugyanazzal a számmal szorozzuk, az egyenlet által megadott sík nem változik. Ez azt jelenti, hogy minden sík homogén koordinátáknak felel meg . A homogén koordinátákkal felírt ponthoz egy egyeneshez rendelhető, amely homogén koordinátákba ugyanúgy íródik. Így a projektív síkon lévő vonalak egy "második projektív síkot" alkotnak, ez a projektív kettősség elve . $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ $a_{1},a_{2},a_{3}$ $(a_1:a_2:a_3)$

Számítógépes geometria

A számítási geometriában homogén koordinátákat használnak az euklideszi síkon végzett műveletek kiszámításához. Az euklideszi síkot ideiglenesen kiegészítjük a projektívre, a pontok derékszögű koordinátáihoz hozzáadjuk az 1-es homogén koordinátát, majd végrehajtjuk a műveleteket, majd a legvégén a homogén koordinátával való osztást, hogy megkapjuk a derékszögű koordinátákat, és a végtelenben lévő pontokat speciálisan kezelik. Ez a megközelítés lehetővé teszi a műveletek gyors és pontos kódolását egy síkon lévő objektumokkal. A két ponton átmenő egyenest és a két egyenes metszéspontjában lévő pontot a rendszer a keresztszorzattal kódolja . Ezenkívül az euklideszi sík kiterjesztése a projektív síkra gyakran lehetővé teszi, hogy elkerüljük a speciális esetek figyelembevételét a közbenső konstrukcióknál, például a metsző vagy párhuzamos egyeneseknél, és az elemzést csak a legvégén végezzük el.

A homogén egész koordináták általánosítják a racionális számokat . A harmadik homogén koordináta az első két koordináta közös nevezőjeként szolgál, így minden számítás hiba nélkül elvégezhető ( hosszú aritmetikában ).

Példák

baricentrikus koordináták .

Források

↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N. Geometry 2018. július 13-i archív példány a Wayback Machine -nél . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1